[论文解读] Stability and Optimal Control of Switching PDE-Dynamical Systems

Falk M. Hante|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 5被引用 3

一句话总结

本论文为由偏微分方程（PDEs）驱动的切换系统的稳定性与最优控制构建了理论框架，采用巴拿赫空间与希尔伯特空间中的抽象演化方程。通过公共李雅普诺夫函数建立了统一指数稳定的条件，推导了间歇性阻尼系统的广义可观测性不等式，并提出了一种基于松弛的最优切换控制方法，验证了其收敛性与最优性间隙，数值验证涵盖热方程、薛定谔方程、波动方程和输运方程等PDE系统。

ABSTRACT

Selected results for the stability and optimal control of abstract switched systems in Banach and Hilbert space are reviewed. The dynamics are typically given in a piecewise sense by a family of nonlinearly perturbed evolutions of strongly continuous semigroups. Stability refers to characterizations of asymptotic decay of solutions that holds uniformly for certain classes of switching signals for time going to infinity. Optimal control refers to the minimization of costs associated to solutions by appropriately selecting switching signals. Selected numerical results verify and visualize some of the available theory.

研究动机与目标

• 建立任意切换信号下切换PDE动力系统统一指数稳定的充分必要条件。
• 为间歇性阻尼耗散系统中的渐近稳定性建立广义可观测性不等式理论。
• 分析最优切换控制问题中最优值函数的松弛间隙与正则性。
• 推导切换时刻扰动与模式插入在最优控制中的伴随微分法。
• 通过热方程、薛定谔方程、波动方程和输运方程等PDE的数值案例研究验证理论结果。

提出的方法

• 将切换PDE动力系统表述为具有分段定义半群生成元与利普希茨非线性扰动的抽象演化方程。
• 应用强连续半群理论与温和解定义在切换区间上的解。
• 利用公共李雅普诺夫函数刻画在所有切换信号下全局一致指数稳定性。
• 推导广义可观测性不等式，以确保具有间歇性阻尼系统的渐近稳定性。
• 采用外凸化与松弛技术求解最优控制问题的混合整数非线性规划（MINLP）公式。
• 采用有限体积法与隐式欧拉格式进行空间与时间离散化，使用GAMS求解器（BONMIN、BARON）计算最优切换序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意切换信号下，何种条件可确保切换PDE系统的统一指数稳定？
• RQ2 广义可观测性不等式如何用于建立间歇性阻尼系统中的渐近稳定性？
• RQ3 涉及切换成本的最优切换控制问题中，松弛间隙的大小如何？
• RQ4 最优值函数的正则性如何依赖于切换时刻的扰动与模式插入？
• RQ5 松弛技术能否为PDE系统中的最优切换控制问题提供精确解或ε-最优解？

主要发现

• 在1D输运方程测试案例中，基于松弛的方法在Δt = 0.25、Nx = 1000时达到0%的相对整数最优性间隙，验证了理论收敛速率。
• MINLP求解器GAMS/BONMIN为具有集中控制的1D热方程找到了最优切换信号λ(t) = 1 − χ(9/4,T](t)，计算时间随Nx指数增长。
• 外凸化/松弛方法的CPU时间随Nx线性增长，在Nx = 1000时仍可行，而MINLP求解器在Nx > 70时失效。
• 当Nx = 1000时，松弛控制解在Δt ≤ 0.25时与MINLP解一致，验证了松弛方法的有效性。
• 计算得到的最优代价J*从Nx = 10时的0.280降至Nx = 1000时的0.0742，表明数值格式具有收敛性。
• 在Δt = 0.25时，相对最优性间隙γ(α³) = 0，验证了定理7的理论预测：当Δt → 0时间隙消失。