[论文解读] Stability and tail limits of transport-based quantile contours

Cees de Valk, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用 6

一句话总结

本文将罗伯特·麦卡恩的最优传输框架扩展至在原点邻域外为无限测度的测度，建立了多值传输映射和分位数轮廓在弱收敛下的稳定性。通过使用球面对照测度，推导了正则变体测度的尾部极限，无需绝对连续性、矩条件或支撑限制。

ABSTRACT

We extend Robert McCann’s treatment of the existence and uniqueness of an optimal transport map between two probability measures on a Euclidean space to a class of possibly infinite measures, finite outside neighbourhoods of the origin. For convergent sequences of pairs of such measures, we study the stability of the multivalued transport maps and associated quantile contours, defined as the images of spheres under these maps. The measures involved in the coupling are not required to be absolutely continuous, there are no restrictions on their supports, and no moment assumptions are needed. Weakly convergent sequences of probability measures forming a special case, our results apply to the recently introduced Monge–Kantorovich depth contours. The set-up involving infinite limit measures is applied to regularly varying probability measures: we derive tail limits of transport maps and of quantile contours defined with respect to a judiciously chosen spherical reference measure. Examples are discussed in detail.

研究动机与目标

• 将麦卡恩的最优传输理论推广至在原点邻域外为有限测度的一类无限测度。
• 研究测度序列在弱收敛下多值传输映射及其相关分位数轮廓的稳定性。
• 为正则变体概率测度建立传输映射和分位数轮廓的尾部分析极限。
• 将该框架应用于Monge–Kantorovich深度轮廓，作为弱收敛概率测度的特例。
• 在基于传输的分位数分析中，去除标准假设，如绝对连续性、矩条件及支撑限制。

提出的方法

• 使用球面对照测度，将分位数轮廓定义为最优传输映射下球面的像。
• 应用测度序列的弱收敛性，分析传输映射和轮廓的稳定性。
• 将最优传输映射的存在性与唯一性结果从有限测度扩展至在原点外具有紧致支撑的无限测度。
• 基于正则变异性采用极限论证，推导传输映射和轮廓的尾部分析行为。
• 在缺乏绝对连续性或矩假设的条件下，分析传输映射的结构。
• 将该框架应用于深度轮廓，表明其与多变量数据分析中近期发展的相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测度在原点邻域外为无限时，如何在弱收敛下稳定最优传输映射和分位数轮廓？
• RQ2 正则变体概率测度的传输映射和分位数轮廓的尾部分析极限是什么？
• RQ3 最优传输理论在何种程度上可超越有限、绝对连续测度，且无需矩条件或支撑限制？
• RQ4 在该推广设定下，Monge–Kantorovich深度轮廓在弱收敛下的行为如何？
• RQ5 球面对照测度的选择在定义稳定且可解释的分位数轮廓中起什么作用？

主要发现

• 本文在测度序列弱收敛下，建立了多值传输映射及其相关分位数轮廓的稳定性，即使测度在原点邻域外为无限测度亦成立。
• 通过精心选择的球面对照测度，推导了正则变体概率测度的传输映射和分位数轮廓的尾部分析极限。
• 该框架适用于Monge–Kantorovich深度轮廓，证实了其在弱收敛下的稳定性与渐近行为。
• 结果无需依赖绝对连续性、矩条件或测度支撑的限制。
• 该理论将麦卡恩的结果推广至无限测度，使基于传输的分析适用于重尾和无限质量情形。
• 推导出的尾部分析极限为高维及正则变体数据模型中的分位数轮廓提供了稳健的渐近表征。