[论文解读] Stability and uniqueness for the inverse problem of the Schr\"odinger equation in 2D with potentials in W^{{\epsilon},p}

Emilia Blåsten|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文建立了二维Schrödinger方程反问题在Sobolev空间 $W^{ε,p}$ 中势函数 $\varepsilon > 0$，$p > 2$ 情况下的唯一性与对数稳定性。该研究结合Bukhgeïm的振荡解、Alessandrini恒等式，以及Lorentz与BMO型空间中的平稳相位估计与插值理论，证明势函数之差受其Dirichlet-to-Neumann映射之差的对数幂控制。

ABSTRACT

This result will be published as part of my PhD thesis after some streamlining. This manuscript contains the proof of the claim, but is not peer-reviewed. We prove uniqueness and stability for the inverse problem of the 2D Schr\\"odinger equation in the case that the potentials give well posed direct problems and are in W^{{\\epsilon},p}({\\Omega}), {\\epsilon}>0, p>2. The idea of the proof is to use Bukhgeim's oscillating exponential solutions. By Alessandrini's identity and stationary phase we get information about the difference of the potentials from the difference of the Dirichlet-Neumann maps. Using interpolation, we see that the the worst of the remainder terms decays with an exponent of 1 - {\\epsilon} - {\\beta}. Here {\\beta} is the exponent which we get in a norm estimate for the conjugated Cauchy operator. We get it arbitrarily close to 1, so there is uniqueness and stability when {\\epsilon} > 0.

研究动机与目标

• 建立二维Schrödinger方程反问题在势函数属于 $W^{\varepsilon,p}(\Omega)$ 且 $\varepsilon > 0$，$p > 2$ 时的唯一性与稳定性。
• 将反问题框架扩展至比以往已知更弱的正则性势函数，具体为 $\varepsilon > 0$ 的情形。
• 推导势函数之差关于其Dirichlet-to-Neumann映射之差的对数稳定性估计。
• 证明稳定性模量依赖于Sobolev正则性参数 $\varepsilon$，并通过Lorentz与BMO空间之间的插值实现改进。

提出的方法

• 使用Bukhgeïm的复指数解 $e^{in(z-z_0)^2}f$ 构造Schrödinger方程的近似解。
• 应用Alessandrini恒等式，通过振荡积分将Dirichlet-to-Neumann映射之差与势函数之差联系起来。
• 采用平稳相位法估计振荡积分表示中势函数之差的余项。
• 利用 $L^p$ 与 $W^{1,p}$ 空间之间的复插值理论控制余项的衰减速率，引入中间空间 $A_\theta$ 与 $X_\theta$。
• 应用延拓与限制算子，将 $\mathbb{C}$ 上的估计转移到区域 $\Omega$，利用共轭Cauchy算子的有界性。
• 使用具有受控 $W^{1,l}$ 范数的截断函数 $h$ 局域化解，并在插值框架中控制误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势函数属于 $W^{\varepsilon,p}$ 且 $\varepsilon > 0$，$p > 2$ 时，能否建立二维Schrödinger反问题的唯一性与稳定性？
• RQ2 在低正则性势函数下，振荡解产生的余项的最优衰减速率是什么？
• RQ3 Lorentz与BMO空间之间的插值如何改善反问题中的稳定性模量？
• RQ4 稳定性估计能否以Dirichlet-to-Neumann映射之差的对数幂形式量化？
• RQ5 参数 $\varepsilon$ 在决定稳定性估计的连续性模中起什么作用？

主要发现

• 本文证明了在直接问题适定的条件下，对于 $W^{\varepsilon,p}(\Omega)$ 中的势函数 $\varepsilon > 0$，$p > 2$，二维Schrödinger反问题具有唯一性与对数稳定性。
• 稳定性估计形式为 $\|q_1 - q_2\|_{L^2(\Omega)} \leq C'_{M,\varepsilon,a} \left(\ln \|\Lambda_{q_1} - \Lambda_{q_2}\|^{-1}\right)^{-\min(4\varepsilon,1)/8}$，表明其对数据误差具有对数依赖性。
• 振荡积分中余项的衰减速率为 $n^{-\theta/2}$，其中 $\theta = \min(\varepsilon, 1/4)$，该速率决定了稳定性模量。
• 在空间 $X_\theta$ 中使用插值方法，使得稳定性估计可推广至任意小的 $\varepsilon > 0$，优于以往结果。
• 证明了共轭Cauchy算子的余项以 $n^{-\beta}$ 速度衰减，其中 $\beta$ 可任意接近1，从而支持了 $\varepsilon > 0$ 情况下的稳定性结果。
• 证明依赖于对截断函数 $h$ 的精心构造，其 $W^{1,l}$ 范数受控，确保插值框架中误差项在 $z_0$ 上一致有界。