[论文解读] Stability by Lyapunov functions of Caputo fractional differential equations with non-instantaneous impulses

Ravi P. Agarwal, Snezhana Hristova+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文为具有非瞬时脉冲的非线性Caputo分数阶微分方程中的Lyapunov函数，提出了一种Caputo分数阶Dini导数的新定义。通过弱化Lyapunov函数需连续可微的要求，转而允许其仅连续，作者建立了零解一致稳定与渐近一致稳定的充分条件，理论分析与示例验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

The stability of the zero solution of a nonlinear Caputo fractional differential equation with noninstantaneous impulses is studied using Lyapunov like functions. The novelty of this paper is based on the new definition of the derivative of a Lyapunov like function along the given noninstantaneous impulsive fractional differential equations. On one side this definition is a natural generalization of Caputo fractional Dini derivative of a function and on the other side it allows us the assumption for Lyapunov functions to be weakened to continuity. By appropriate examples it is shown the natural relationship between the defined derivative of Lyapunov functions and Caputo derivative. Several sufficient conditions for uniform stability and asymptotic uniform stability of the zero solution, based on the new definition of the derivative of Lyapunov functions are established. Some examples are given to illustrate the results.

研究动机与目标

• 分析具有非瞬时脉冲的非线性Caputo分数阶微分方程中零解的稳定性。
• 解决在脉冲非瞬时且持续于有限区间时应用Lyapunov方法所面临的挑战。
• 将Lyapunov函数的分数阶Dini导数概念推广，以适应非瞬时脉冲结构。
• 通过允许Lyapunov函数仅连续而非连续可微，弱化其经典光滑性要求，增强方法的适用性。
• 基于新导数定义，建立零解一致稳定与渐近一致稳定的充分条件。

提出的方法

• 针对非瞬时脉冲分数阶微分方程，提出一种适用于Lyapunov函数的新型广义Caputo分数阶Dini导数。
• 定义两类分数阶导数：分数阶Dini导数与Caputo分数阶Dini导数，专为脉冲系统设计。
• 将新导数定义应用于分段连续的Lyapunov函数，允许其仅连续而非可微。
• 利用广义导数推导出零解一致稳定与渐近一致稳定的充分条件。
• 构造包含二次与非二次Lyapunov函数的示例，以验证理论结果。
• 通过检查广义导数的符号及函数在脉冲区间内的行为，验证稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Lyapunov函数适配于具有非瞬时脉冲的Caputo分数阶微分方程的稳定性分析？
• RQ2 何种广义的Caputo分数阶Dini导数能有效适应非瞬时脉冲结构？
• RQ3 能否将Lyapunov函数的光滑性要求从连续可微弱化为仅连续，同时保持稳定性分析的有效性？
• RQ4 非瞬时脉冲分数阶系统中，零解在何种条件下保持一致或渐近一致稳定？
• RQ5 新导数定义与标准Caputo导数及经典Lyapunov理论之间存在何种关系？

主要发现

• 为非瞬时脉冲分数阶系统中的Lyapunov函数定义了一种新型广义Caputo分数阶Dini导数，使在更弱光滑性假设下实现稳定性分析成为可能。
• 所提出的导数自然推广了Caputo分数阶Dini导数，允许Lyapunov函数仅连续，无需必然可微。
• 基于新导数定义，建立了零解一致稳定与渐近一致稳定的充分条件。
• 理论结果通过示例得到验证：示例2与示例7展示了在脉冲效应有界时，使用二次Lyapunov函数实现一致稳定。
• 示例8表明，广义Caputo导数在标准Lyapunov方法因系统动力学符号变化而失效时仍具有效性。
• 在示例8中，尽管标准分数阶Dini导数因振荡行为无法得出结论，但通过新导数可证明系统零解的稳定性。