[论文解读] Stability conditions for Slodowy slices and real variations of stability

Rina Anno, Roman Bezrukavnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过仿射 braid 群作用与实变稳定性条件，构造了在简单李代数中幂零轨道的横截切片（Slodowy 切片）的凝聚层导出范畴上的 Bridgeland 稳定性条件空间中的显式连通子流形。关键结果表明，这些范畴上的 t-结构源自对偶 Grothendieck 群覆盖空间中的点，其中仿射 braid 群作为提升变换群作用。

ABSTRACT

We provide examples of an explicit submanifold in Bridgeland stabilities space of a local Calabi-Yau, and propose a new variant of definition of stabilities on a triangulated category, which we call a "real variation of stability conditions". We discuss its relation to Bridgeland's definition; the main theorem provides an illustration of such a relation. We also state a conjecture by the second author and Okounkov relating this structure to quantum cohomology of symplectic resolutions and establish its validity in some special cases. More precisely, let X be the standard resolution of a transversal slice to an adjoint nilpotent orbit of a simple Lie algebra over C. An action of the affine braid group on the derived category of coherent sheaves on X and a collection of t-structures on this category permuted by the action have been constructed in arXiv:1101.3702 and arXiv:1001.2562 respectively. In this note we show that the t-structures come from points in a certain connected submanifold in the space of Bridgeland stability conditions. The submanifold is a covering of a submanifold in the dual space to the Grothendieck group, and the affine braid group acts by deck transformations. In the special case when dim (X)=2 a similar (in fact, stronger) result was obtained in arXiv:math/0508257.

研究动机与目标

• 构造在 Slodowy 切片的凝聚层导出范畴上的 Bridgeland 稳定性条件空间中的显式连通子流形。
• 将这些范畴上的 t-结构几何化为稳定性空间中子流形内点的产物。
• 引入并形式化“实变稳定性条件”这一概念，作为 Bridgeland 框架的变体。
• 在 Slodowy 切片情形下验证一个关于对称空间解消、实变稳定性条件与等变量子上同调之间联系的猜想。
• 证明所构造子流形的实维数等于旗流形第二贝蒂数的两倍，支持镜像对称的期望。

提出的方法

• 利用在 Slodowy 切片 $ X $ 上的 Springer 纤维 $ \mathcal{B}_e $ 上有支撑的凝聚层的导出范畴 $ D^b(Coh_{\mathcal{B}_e}(X)) $。
• 应用仿射 braid 群 $ B_{aff} $ 在导出范畴上的作用（如 [BR] 和 [BM] 中构造），以置换 t-结构。
• 定义从对偶 Grothendieck 群的正则点区域的万有覆叠 $ \widetilde{V^{reg}} $ 到稳定性空间的映射 $ \iota: \widetilde{V^{reg}} \to Stab(\mathcal{C}) $。
• 通过中心电荷映射与 t-结构的心，利用 Bridgeland 准则（[Br] 中命题 5.3）构造稳定性条件。
• 通过分析仿射 Weyl 单体边界附近的行为，利用对偶 Grothendieck 群上的局部同构，建立映射 $ \iota $ 的连续性。
• 依赖于将稳定性条件与中心电荷下对象的相位相联系，利用 [Br1] 和 [BMR1] 中关于正性和稳定性的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Slodowy 切片的导出范畴上的 t-结构能否被实现为 Bridgeland 稳定性空间中连通子流形内的点？
• RQ2 导出范畴上仿射 braid 群的作用如何与稳定性流形的几何相关？
• RQ3 实变稳定性条件与 Bridgeland 原始定义之间的精确关系为何？
• RQ4 关于对称空间解消、实变稳定性条件与等变量子上同调之间联系的猜想在 Slodowy 切片情形下是否成立？
• RQ5 所构造子流形在稳定性空间中的实维数是否等于旗流形第二贝蒂数的两倍？

主要发现

• 在 [BM] 中构造的 $ \mathcal{C} = D^b(Coh_{\mathcal{B}_e}(X)) $ 上的 t-结构源自局部有限 Bridgeland 稳定性条件空间中一个连通子流形的点。
• 该子流形是 $ K^0(\mathcal{C})^* $ 中子流形的覆叠空间，其中仿射 braid 群作为提升变换群作用。
• 子流形的实维数为 $ 2b_2(\mathcal{B}) $，在几乎所有情形下等于 $ 2b_2(X) $，支持对弦论模空间的镜像对称猜想。
• 引入了一种新结构——“实变稳定性条件”——并证明其提供了一个与 Bridgeland 定义平行且扩展的几何框架。
• Okounkov 与 Bezrukavnikov 关于对称空间解消的导出范畴上此类结构的存在性及其与等变量子上同调联系的猜想，在 Slodowy 切片情形下得到验证。
• 通过利用 [Br1] 和 [BMR1] 中的相位论证与局部同构，分析单体边界附近的行为，建立了稳定性条件映射 $ \iota $ 的连续性。