[论文解读] Stability, convergence to equilibrium and simulation of non-linear Hawkes Processes with memory kernels given by the sum of Erlang kernels

Aline Duarte, Eva Löcherbach+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Point processes and geometric inequalities被引用 4

一句话总结

该论文通过将记忆核由爱尔朗核之和构成的非线性霍克斯过程建模为马尔可夫级联——即连续时间马尔可夫过程（PDMP）——并利用分部积分法与范德蒙德矩阵的可逆性，证明了其正哈里斯遍历性，从而建立了该过程的稳定性和指数收敛到平衡态的性质。此外，论文还提出了一种改进的薄化算法，以高效模拟此类过程。

ABSTRACT

Non-linear Hawkes processes with memory kernels given by the sum of Erlang kernels are considered. It is shown that their stability properties can be studied in terms of an associated class of piecewise deterministic Markov processes, called Markovian cascades of successive memory terms. Explicit conditions implying the positive Harris recurrence of these processes are presented. The proof is based on integration by parts with respect to the jump times. A crucial property is the non-degeneracy of the transition semigroup which is obtained thanks to the invertibility of an associated Vandermonde matrix. For Lipschitz continuous rate functions we also show that these Markovian cascades converge to equilibrium exponentially fast with respect to the Wasserstein distance. Finally, an extension of the classical thinning algorithm is proposed to simulate such Markovian cascades.

研究动机与目标

• 分析记忆核为爱尔朗核之和的非线性霍克斯过程的长期行为与稳定性。
• 建立与之相关的马尔可夫级联为正哈里斯遍历的条件。
• 证明在Lipschitz率函数条件下，该过程在Wasserstein距离下指数收敛到平衡态。
• 基于薄化算法，为这些马尔可夫级联开发一种新型模拟算法。
• 证明基于爱尔朗核的霍克斯过程可在紧致时间区间上逼近任意可积记忆核。

提出的方法

• 将霍克斯过程的强度过程建模为一系列连续时间马尔可夫过程（PDMP），称为连续记忆项的马尔可夫级联。
• 使用辅助过程表示每个记忆项，其在跳跃之间确定演化，并在跳跃时刻通过由爱尔朗核参数决定的流进行更新。
• 利用关于跳跃时间的分部积分法分析转移密度，并建立半群的非退化性。
• 借助关联范德蒙德矩阵的可逆性，确保转移密度严格为正，从而支持遍历性分析。
• 利用耦合技术与Wasserstein距离，证明在率函数满足Lipschitz连续性条件下，过程指数收敛到平衡态。
• 通过利用爱尔朗核所诱导的马尔可夫结构，将经典薄化算法扩展以模拟马尔可夫级联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，基于爱尔朗核之和记忆核的非线性霍克斯过程所关联的马尔可夫级联为正哈里斯遍历？
• RQ2 爱尔朗核分解的结构如何实现将霍克斯过程简化为PDMP框架？
• RQ3 在何种条件下，此类过程在Wasserstein距离下实现指数收敛到平衡态？
• RQ4 能否证明马尔可夫级联的转移密度是非退化的？其证明方法为何？
• RQ5 经典薄化算法如何被改进以模拟基于爱尔朗核之和记忆核的非线性霍克斯过程？

主要发现

• 在标准次临界条件 ‖f′‖L∞ < 1 下，基于爱尔朗核之和记忆核的非线性霍克斯过程所关联的马尔可夫级联为正哈里斯遍历。
• 对于Lipschitz连续的率函数，该过程在Wasserstein距离下实现指数收敛到平衡态，收敛速率依赖于爱尔朗核的参数。
• 通过由核参数构造的范德蒙德矩阵的可逆性，证明了转移半群的非退化性，从而确保存在严格正的密度。
• 通过利用级联系统所诱导的马尔可夫结构，对薄化算法进行扩展，使得此类过程的模拟成为可能。
• 爱尔朗核之和构成的记忆核类在 L¹(ℝ₊) 中是稠密的，意味着任意可积记忆核均可在紧致时间区间上被任意精确地逼近。
• 遍历性证明依赖于使用微分同胚与变量替换的递归归纳法，关键步骤在于变换的雅可比行列式非零。