[论文解读] Stability estimates for the Radon transform with restricted data and applications

Pedro Caro, David Dos Santos Ferreira+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本论文为受限数据下的Radon变换建立了稳定性估计，证明在函数满足紧支集条件时，其$L^p$范数可由其在有限角度和空间区域上的Radon变换控制。关键贡献是一项定量稳定性结果，可改进部分数据下反边界值问题的稳定性估计，尤其适用于Calderón反电导率问题及相关Schrödinger反问题。

ABSTRACT

In this article, we prove a stability estimate going from the Radon transform of a function with limited angle-distance data to the $L^p$ norm of the function itself, under some conditions on the support of the function. We apply this theorem to obtain stability estimates for an inverse boundary value problem with partial data.

研究动机与目标

• 在函数具有支集条件的前提下，推导受限于有限角度和空间区域的数据下Radon变换的稳定性估计。
• 将这些估计应用于部分数据下的反边界值问题，特别是在Calderón反电导率问题的背景下。
• 改进仅在边界子集上可获得测量数据的反问题中重建结果的稳定性。
• 建立Dirichlet-to-Neumann映射差异与底层势函数或电导率差异之间联系的定量界限。
• 利用微局部分析与积分几何技术，将部分数据反问题结果推广至高维空间。

提出的方法

• 通过双平面变换表示和加权$L^2$估计，推导局部Radon变换的稳定性估计。
• 利用单位分解和局部坐标，将全局估计转化为球面$\mathbf{S}^2$上的局部估计。
• 应用Hölder不等式和变量替换，控制受限平面上Radon变换的$L^1$范数。
• 通过在平面内球体上的平均，将Radon变换与双平面变换关联，从而以$L^2$范数形式控制变换。
• 将局部稳定性估计与全局定理（定理2.5）结合，获得受限数据下Radon变换的全局稳定性估计。
• 利用稳定性常数对Dirichlet-to-Neumann映射差异的对数依赖性，推导最终的定量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数具有支集条件且数据被限制在有限平面集合下时，能否为Radon变换建立稳定性估计？
• RQ2 受限数据如何影响Schrödinger方程或电导率方程反问题的稳定性？
• RQ3 在部分数据设置下，重建误差对Dirichlet-to-Neumann映射差异的定量依赖关系是什么？
• RQ4 能否利用几何与微局部分析方法将稳定性估计推广至高维空间？
• RQ5 凸包与支撑平面在控制受限数据下Radon变换稳定性中起什么作用？

主要发现

• 为受限数据下的Radon变换建立了稳定性估计：$\int_{-\alpha/2}^{\alpha/2}\int_{\mathbf{S}^2}|\mathcal{R}q(s,\omega)|\,d\sigma(\omega)\,ds \leq C\left(\tau^{-1/4}\|q\|^{1/2}_{L^\infty} + e^{c\tau}\|\Lambda_{q_1}-\Lambda_{q_2}\|^{1/4}\right)^{1/3}$，其中$\mathcal{R}$表示Radon变换。
• 该估计通过双平面变换表示和局部坐标分析推导得出，利用平面内球体的平均将Radon变换与双平面变换关联。
• 稳定性常数对Dirichlet-to-Neumann映射差异呈对数依赖，其中$\tau = \frac{1}{8c}|\log\|\Lambda_{q_1}-\Lambda_{q_2}\||$。
• 该结果表明，在部分数据条件下，势函数$q$的$L^p$范数可由Dirichlet-to-Neumann映射的差异控制。
• 该方法适用于从部分边界测量数据反演$q$的反问题，给出了在$L^\infty$范数下的对数稳定性估计。
• 通过将问题约化为Schrödinger方程，该稳定性结果可推广至反电导率问题，在维度$n \geq 3$下提供了部分数据恢复的定量界。