[论文解读] Stability for a continuous SOS-interface model in a randomly perturbed periodic potential

Christof Kuelske|ArXiv.org|Dec 22, 1998

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文在弱无序周期势场下的d维晶格连续SOS模型中建立了局域界面的存在性，证明了在d ≥ 3+1且低温条件下几乎必然局域化。通过连续到离散的单格点粗粒化方法，并与无序整数值SOS模型关联，表明无限体积吉布斯测度可表示为以离散模型配置为中心、具有指数衰减相互作用的重质量高斯场的叠加。

ABSTRACT

We consider the Gibbs-measures of continuous-valued height configurations on the $d$-dimensional integer lattice in the presence a weakly disordered potential. The potential is composed of Gaussians having random location and random depth; it becomes periodic under shift of the interface perpendicular to the base-plane for zero disorder. We prove that there exist localized interfaces with probability one in dimensions $d\geq 3+1$, in a `low-temperature' regime. The proof extends the method of continuous-to-discrete single- site coarse graining that was previously applied by the author for a double-well potential to the case of a non-compact image space. This allows to utilize parts of the renormalization group analysis developed for the treatment of a contour representation of a related integer-valued SOS-model in [BoK1]. We show that, for a.e. fixed realization of the disorder, the infinite volume Gibbs measures then have a representation as superpositions of massive Gaussian fields with centerings that are distributed according to the infinite volume Gibbs measures of the disordered integer-valued SOS-model with exponentially decaying interactions.

研究动机与目标

• 研究在d维晶格上无序周期势场中连续高度界面的稳定性。
• 确定在弱无序条件下，局域吉布斯测度存在的条件。
• 将连续到离散的粗粒化方法扩展至连续SOS模型的非紧图像空间。
• 建立连续模型的吉布斯测度与具有指数衰减相互作用的关联整数值SOS模型吉布斯测度之间的联系。
• 建立无限体积吉布斯测度作为以无序依赖中心的重质量高斯场叠加的表示。

提出的方法

• 应用连续到离散的单格点粗粒化方法，将连续高度模型映射为有效离散自旋系统。
• 利用为具有指数衰减相互作用的整数值SOS模型所发展的重整化群技术。
• 将无序势场分析为具有随机位置和深度的高斯函数的叠加，其在无序极限下变为周期性。
• 证明对于无序的几乎所有实现，系统在d ≥ 3+1维度下表现出局域化。
• 将连续模型的无限体积吉布斯测度表示为以离散SOS模型配置为中心的重质量高斯场的混合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维下，具有弱无序周期势的连续SOS模型是否表现出局域吉布斯测度？
• RQ2 连续到离散的粗粒化方法能否扩展至无序系统中的非紧图像空间？
• RQ3 连续模型的无限体积吉布斯测度与相应整数值SOS模型的吉布斯测度有何关系？
• RQ4 无序结构——具有随机位置和深度的高斯函数——在实现局域化中起什么作用？
• RQ5 在弱无序条件下，连续SOS模型在何种维度下几乎必然发生局域化？

主要发现

• 在弱无序和低温条件下，d ≥ 3+1维度下，局域界面以概率1存在。
• 连续模型的无限体积吉布斯测度可表示为重质量高斯场的叠加。
• 这些高斯场的中心分布遵循具有指数衰减相互作用的无序整数值SOS模型的无限体积吉布斯测度。
• 该方法将先前从双阱势场出发的粗粒化技术扩展至非紧图像空间。
• 结果对随机势场的几乎所有固定实现均成立，确认了淬火局域化。