[论文解读] Stability in the inverse source problem for elastic and electromagnetic waves with multi-frequencies

Gang Bao, Peijun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文通过使用多频数据，建立了弹性波和电磁波方程中反源问题的唯一性和稳定性。通过利用积分方程、解析延拓和狄利克雷-诺伊曼映射，证明了稳定性逐渐增强：随着频率带宽的增加，由于源估计中高频尾部的衰减，问题的不适定性减弱。

ABSTRACT

This paper concerns the inverse source problems for the time-harmonic elastic and electromagnetic wave equations. The goal is to determine the external force and the electric current density from boundary measurements of the radiated wave field, respectively. The problems are challenging due to the ill-posedness and complex model systems. Uniqueness and stability are established for both of the inverse source problems. Based on either continuous or discrete multi-frequency data, a unified increasing stability theory is developed. The stability estimates consist of two parts: the Lipschitz type data discrepancy and the high frequency tail of the source functions. As the upper bound of frequencies increases, the latter decreases and thus becomes negligible. The increasing stability results reveal that ill-posedness of the inverse problems can be overcome by using multi-frequency data. The method is based on integral equations and analytical continuation, and requires the Dirichlet data only. The analysis employs asymptotic expansions of Green's tensors and the transparent boundary conditions by using the Dirichlet-to-Neumann maps. In addition, for the first time, the stability is established on the inverse source problems for both the Navier and Maxwell equations.

研究动机与目标

• 解决弹性波和电磁波方程中反源问题的不适定性。
• 从边界测量中建立外部力和电流密度重构的唯一性和稳定性。
• 为多频数据开发统一框架，通过增加频率带宽来提高稳定性。
• 首次将稳定性结果扩展至纳维（弹性）和麦克斯韦（电磁）方程。
• 证明当上限频率增加时，源函数的高频分量变得可忽略。

提出的方法

• 采用弹性与电磁学的时间谐波波方程来表述反源问题。
• 应用积分方程方法和解析延拓，将边界数据中的信息传播到域内。
• 利用狄利克雷-诺伊曼映射来建模透明边界条件并提取边界信息。
• 通过格林张量的渐近展开分析高频下波场的行为。
• 推导出稳定性估计，结合Lipschitz型数据偏差与源的衰减高频尾部。
• 仅依赖狄利克雷边界数据，避免对法向量或混合数据的需求。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过多频数据在弹性波和电磁波中建立反源问题的唯一性和稳定性？
• RQ2 随着频率带宽的增加，反源问题的稳定性如何改善？
• RQ3 源函数的高频尾部在反问题不适定性中起什么作用？
• RQ4 能否为纳维和麦克斯韦方程建立统一的理论框架？
• RQ5 通过使用多频数据，反问题的不适定性在多大程度上可以被缓解？

主要发现

• 在弹性波和电磁波方程中，反源问题的唯一性和稳定性得到严格证明。
• 稳定性估计由Lipschitz型项和随上限频率增加而衰减的高频尾部组成。
• 当频率带宽足够宽时，高频尾部变得可忽略，从而实现更高的稳定性。
• 该方法在仅使用狄利克雷边界测量的前提下实现了稳定性逐步增强。
• 这是首次在反源问题背景下，为纳维和麦克斯韦方程建立此类稳定性结果的工作。
• 理论框架具有统一性，适用于连续和离散的多频数据。