[论文解读] Stability issues of entropy-stable and/or split-form high-order schemes

Gregor J. Gassner, Magnus Svärd+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 6

一句话总结

本文揭示了熵稳定及分裂格式高阶格式中的关键不稳定性，表明即使在非线性稳定的方法中，由于熵守恒两点通量的反耗散行为，仍可能表现出局部能量不稳定。对Burgers方程和Euler方程的数值实验显示，尽管具有高阶精度和熵稳定性，数值波动仍出现指数级增长，严重损害了方法的可靠性。

ABSTRACT

The focus of the present research is on the analysis of local energy stability of high-order (including split-form) summation-by-parts methods, with e.g. two-point entropy-conserving fluxes, approximating non-linear conservation laws. Our main finding is that local energy stability, i.e., the numerical growth rate does not exceed the growth rate of the continuous problem, is not guaranteed even when the scheme is non-linearly stable and that this may have adverse implications for simulation results. We show that entropy-conserving two-point fluxes are inherently locally energy unstable, as they can be dissipative or anti-dissipative. Unfortunately, these fluxes are at the core of many commonly used high-order entropy-stable extensions, including split-form summation-by-parts discontinuous Galerkin spectral element methods (or spectral collocation methods). For the non-linear Burgers equation, we further demonstrate numerically that such schemes cause exponential growth of errors during the simulation. Furthermore, we encounter a similar abnormal behaviour for the compressible Euler equations, for a smooth exact solution of a density wave. Finally, for the same case, we demonstrate numerically that other commonly known split-forms, such as the Kennedy and Gruber splitting, are also locally energy unstable.

研究动机与目标

• 研究非线性守恒律的熵稳定及分裂格式高阶格式的局部能量稳定性。
• 确定非线性稳定性是否能保证高阶方法中的局部能量稳定性。
• 识别在常用熵稳定格式中数值不稳定的根源，特别是基于两点熵守恒通量的格式。
• 评估此类不稳定性对Burgers方程和可压缩Euler方程等流体动力学方程实际模拟的影响。
• 评估标准耗散机制（体积项或界面通量）是否能在不损害高阶精度的前提下恢复局部能量稳定性。

提出的方法

• 使用von Neumann分析和特征值谱分析高阶求和-by-parts（SBP）格式的线性稳定性。
• 通过考察数值增长速率与连续问题的对比，推导局部能量稳定性条件。
• 在非线性守恒律的分裂格式SBP间断伽辽金方法中应用熵守恒的两点通量。
• 对具有光滑精确解的非线性Burgers方程和可压缩Euler方程进行数值模拟。
• 测试多种分裂格式变体，包括Kennedy和Gruber分裂，以评估其能量稳定性特性。
• 研究网格加密对谱和指数增长速率的影响，以评估Lax稳定性的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶熵稳定格式中的非线性稳定性是否能保证局部能量稳定性？
• RQ2 为何熵守恒的两点通量会在高阶格式中导致反耗散行为？
• RQ3 通过体积项或界面通量添加耗散是否能恢复分裂格式SBP格式的局部能量稳定性？
• RQ4 网格加密如何影响这些格式中指数误差增长的幅度和发生时间？
• RQ5 如Kennedy和Gruber等常用分裂格式是否也存在局部能量不稳定？

主要发现

• 熵守恒的两点通量本质上具有局部能量不稳定性，因其可能表现出反耗散行为，导致数值波动的指数级增长。
• 对非线性Burgers方程的数值模拟表明，尽管熵稳定格式具有非线性稳定性，但其仍出现指数级误差增长。
• 对于具有光滑解的可压缩Euler方程，熵守恒和熵耗散的分裂格式因密度波动的非物理指数增长而过早崩溃。
• 常用作动能保持的Kennedy和Gruber分裂格式，在相同测试条件下也表现出局部能量不稳定性。
• 网格加密不会消除故障特征值，但会将其移至更高频段并延迟指数增长的开始，提示在h→0时可能存在Lax稳定性。
• 未找到能恢复局部能量稳定性而不损害高阶精度的简单耗散策略，表明当前SBP分裂格式设计中存在根本性挑战。