[论文解读] Stability of a mixed type quadratic, cubic and quartic functional equation

M‎. ‎Eshaghi Gordji, S. Kaboli-Gharetapeh+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2008

Functional Equations Stability Results参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了包含二次、三次和四次项的混合型函数方程的一般解，并证明了广义的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。结果表明，任意解可唯一分解为二次、三次和四次分量，且在扰动下提供了显式的误差界，将稳定性理论推广至巴拿赫空间中的混合型函数方程。

ABSTRACT

In this paper, we obtain the general solution and the generalized Hyers-Ulam Rassias stability of the functional equation $$3(f(x+2y)+f(x-2y))=12(f(x+y)+f(x-y))+4f(3y)-18f(2y)+36f(y)-18f(x).$$

研究动机与目标

• 确定统一二次、三次和四次行为的函数方程的一般解。
• 将Hyers-Ulam-Rassias稳定性理论推广至具有混合多项式增长类型的函数方程。
• 建立解分解中二次、三次和四次分量的存在性与唯一性。
• 为在各种控制函数下的近似解推导显式误差估计。
• 将先前针对纯二次、三次或四次方程的稳定性结果推广至混合情形。

提出的方法

• 利用对称性性质，将解分解为偶部分（二次与四次）和奇部分（三次）。
• 使用函数方程 (1.5) 推导对称双加法、三加法及多重加法函数的条件。
• 应用不动点技术，并通过缩放（例如，将 x 替换为 2^n x）进行迭代逼近，构造极限函数。
• 采用控制函数 φ(x,y) 的级数为基础的控制序列与收敛准则，证明极限的存在性。
• 通过在迭代过程中对误差项求和，利用 φ(2^i x, 2^i x) 和 φ(2^{i+1}x, 2^i x) 的加权级数推导稳定性界。
• 通过证明在给定条件下任意两个解必须重合，建立分解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 包含二次、三次和四次项的混合型函数方程的一般解是什么？
• RQ2 在何种条件下，方程的近似解会保持在精确解附近？
• RQ3 解如何被唯一地分解为其二次、三次和四次分量？
• RQ4 满足扰动方程的函数的近似误差的显式界是什么？
• RQ5 稳定性结果如何推广先前针对纯二次、三次或四次方程的发现？

主要发现

• 函数方程 (1.5) 的一般解唯一表示为 f(x) = Q₁(x,x) + C(x,x,x) + Q₂(x,x,x,x)，其中 Q₁ 为对称双加法函数，C 为对称三重加法函数，Q₂ 为对称多重加法函数。
• 对于满足 ||D_f(x,y)|| ≤ φ(x,y) 的偶函数 f，极限 Q₁(x) = limₙ→∞ (1/4ⁿ)[f(2ⁿ⁺¹x) - 16f(2ⁿx)] 存在，并定义了一个唯一的二次函数。
• 对于满足相同条件的偶函数 f，极限 Q₂(x) = limₙ→∞ (1/16ⁿ)[f(2ⁿ⁺¹x) - 4f(2ⁿx)] 存在，并定义了一个唯一的四次函数。
• 当 f 为奇函数且满足 f(0) = 0 时，极限 C(x) = limₙ→∞ (1/8ⁿ)[f(2ⁿ⁺¹x) - 2f(2ⁿx)] 定义了一个唯一的三次函数。
• 在条件 ∑(1/4^i)[φ(2^{i+1}x,2^i x) + φ(2^i x,2^i x)] < ∞ 下，近似误差满足 ||f(x) - Q₁(x) - C(x) - Q₂(x)|| ≤ (1/12)∑(1/4^i + 1/16^i)[(1/3)φ(2^{i+1}x,2^i x) + (16/3)φ(2^i x,2^i x)] + (1/6)∑(1/8^{i+1})φ(0,2^i x) + (2/3)∑(1/8^{i+1})φ(2^i x,2^i x)。
• 对于特殊情形 φ(x,y) = θ(||x||^p + ||y||^p) 且 p < 3，误差界变为 ||f(x) - Q₁(x) - C(x) - Q₂(x)|| ≤ [(33 + 2^p)/9 ⋅ (1/(4 - 2^p) + 4/(16 - 2^p)) + 3/(2(8 - 2^p))]θ||x||^p。
• 在有界扰动情形 φ(x,y) ≡ ε 下，误差界简化为 ||f(x) - Q₁(x) - C(x) - Q₂(x)|| ≤ (431/420)ε 对所有 x ∈ X 成立。