[论文解读] Stability of Adjointable Mappings in Hilbert $C^*$-Modules

Mohammad Sal Moslehian|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2005

Functional Equations Stability Results参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文引入了在固定 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 上的希尔伯特 $C^*$-模之间稠密定义的共轭可施行映射的 $\varphi$-扰动概念，证明此类映射是 $\mathcal{A}$-线性且共轭可施行的，其共轭为 $g$，并建立了这些算子的 Hyers--Ulam--Rassias 稳定性。当 $f$ 和 $g$ 均处处定义时，它们是有界的，从而将经典稳定性理论扩展至 $C^*$-模框架。

ABSTRACT

We define the notion of $\varphi$-perturbation of a densely defined adjointable mapping and prove that any such mapping $f$ between Hilbert ${\mathcal A}$-modules over a fixed $C^*$-algebra ${\mathcal A}$ with densely defined corresponding mapping $g$ is ${\mathcal A}$-linear and adjointable in the classical sense with adjoint $g$. If both $f$ and $g$ are everywhere defined then they are bounded. Our work concerns with the concept of Hyers--Ulam--Rassias stability originated from the Th.M. Rassias' stability theorem that appeared in his paper [On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 72 (1978), 297--300]. We also indicate interesting complementary results in the case where the Hilbert $C^*$-modules admit non-adjointable $C^*$-linear mappings.

研究动机与目标

• 将 Hyers--Ulam--Rassias 稳定性定理扩展至希尔伯特 $C^*$-模的背景。
• 定义并分析稠密定义可施行映射的 $\varphi$-扰动概念。
• 建立此类扰动映射保持 $\mathcal{A}$-线性性与良好定义的共轭的条件。
• 研究在此框架下全局定义的可施行映射的有界性。
• 探讨希尔伯特 $C^*$-模中非可施行 $C^*$-线性映射的存在性及其影响。

提出的方法

• 引入希尔伯特 $C^*$-模之间稠密定义可施行映射的 $\varphi$-扰动概念。
• 利用可施行性的经典定义与 $\mathcal{A}$-线性性分析扰动映射的结构。
• 将 Hyers--Ulam--Rassias 稳定性框架应用于 $C^*$-模框架，推导稳定性条件。
• 证明任意稠密定义可施行映射 $f$ 的 $\varphi$-扰动均产生 $\mathcal{A}$-线性且可施行的映射，其共轭为 $g$。
• 分析当 $f$ 与 $g$ 均处处定义时的情形，证明其必为有界映射。
• 研究在模结构中存在非可施行 $C^*$-线性映射时的补充结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特 $C^*$-模之间稠密定义的可施行映射的 $\varphi$-扰动本身是可施行且 $\mathcal{A}$-线性的？
• RQ2 Hyers--Ulam--Rassias 稳定性定理如何应用于希尔伯特 $C^*$-模中的可施行映射？
• RQ3 当映射及其对应共轭均处处定义时，其可施行性与有界性会发生什么变化？
• RQ4 希尔伯特 $C^*$-模中是否存在非可施行的 $C^*$-线性映射，其对稳定性有何影响？
• RQ5 当底层 $C^*$-代数固定时，扰动框架中会涌现出何种结构性质？

主要发现

• 任意稠密定义可施行映射 $f$ 在希尔伯特 $C^*$-模之间的 $\varphi$-扰动均是 $\mathcal{A}$-线性且可施行的，其共轭为 $g$。
• 若 $f$ 及其对应映射 $g$ 均处处定义，则 $f$ 是有界的。
• 通过 $\varphi$-扰动，Hyers--Ulam--Rassias 稳定性框架成功扩展至希尔伯特 $C^*$-模框架。
• 扰动映射 $f$ 的共轭恰好为 $g$，确保了共轭结构的一致性。
• 在存在非可施行 $C^*$-线性映射的情况下，本文提供了其结构性质与稳定性影响的补充结果。
• 稳定性结果在固定的 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 下建立，确保了模框架内的一致性。