[论文解读] Stability of an abstract system with infinite history

Abderrahmane Youkana|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 6

一句话总结

本文针对具有无限记忆的抽象线性粘弹性系统，建立了改进的能量衰减率，该系统由满足 $ g'(t) \leq -\xi(t)g^p(t) $ 的松弛函数控制，其中 $ 1 \leq p < \frac{3}{2} $。通过引入一种新颖的李雅普诺夫泛函并利用松弛函数的结构，作者推导出最优衰减估计，显著优于文献中已有的结果，尤其在多项式衰减和一般衰减率方面。

ABSTRACT

This work is concerned with stabilization of an abstract linear dissipative integrodiffrential equation with infinite memory modeling linear viscoelasticity where the relaxation function satisfies $ g'(t)\leq -ξ(t)g^p(t), \forall t\geq 0, 1\leq p

研究动机与目标

• 分析一个具有无限记忆的抽象线性耗散型积分微分方程的稳定性与能量衰减，该方程用于建模线性粘弹性行为。
• 改进文献中针对满足 $ g'(t) \leq -\xi(t)g^p(t) $，$ 1 \leq p < \frac{3}{2} $ 的松弛函数的衰减率结果。
• 通过一种新颖的李雅普诺夫泛函方法，建立一般衰减估计，以捕捉快于指数或多项式衰减的行为。
• 扩展并细化 [6] 和 [7] 的早期结果，特别是在 $ A = B $ 或对 $ A $ 和 $ B $ 施加结构假设的情况下。

提出的方法

• 将问题在希尔伯特空间 $ \mathcal{H} = \mathcal{D}(A^{1/2}) \times \mathcal{H} \times L^2_g(\mathbb{R}_+, \mathcal{D}(B^{1/2})) $ 中表述为一阶抽象演化系统，使用相对历史 $ \eta^t(s) = u(t) - u(t-s) $。
• 定义一个新的李雅普诺夫泛函 $ \mathcal{L}(t) $，其结合了能量 $ E(t) $、$ \eta^t $ 的加权积分，以及涉及 $ g $ 和 $ \xi $ 的凸泛函，以适配松弛条件。
• 利用松弛条件 $ g' \leq -\xi g^p $，推导出涉及 $ E'(t) $、$ \xi(t) \int_0^t g(s)\|A^{1/2}B^{1/2}\eta^t(s)\|^2 ds $ 和 $ h(t) = \xi(t) \int_t^\infty g(s) ds $ 的微分不等式。
• 应用微分不等式技术，将 $ E(t) $ 控制在 $ \int_0^t \xi^{\alpha+1}(s) ds $ 和 $ \int_0^t h^{\alpha+1}(s) ds $ 的范围内，其中 $ \alpha = 2p - 2 $，从而导出衰减估计。
• 利用松弛函数 $ g(t) = a(1+t)^{-q} $，$ q > 2 $ 的结构，推导出显式衰减率，并与先前工作进行比较。
• 采用假设 $ \|A^{1/2}v\|^2 \leq a_2 \|B^{1/2}v\|^2 $ 或 $ \|A^{1/2}v\|^2 \leq a_2 \|A^{1/2}B^{1/2}v\|^2 $ 来控制能量并确保衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 当松弛函数满足 $ g'(t) \leq -\xi(t)g^p(t) $，$ 1 \leq p < \frac{3}{2} $ 时，是否可以改进具有无限记忆的粘弹性系统的能量衰减率？
• RQ2 在相同的松弛条件下，能量 $ E(t) $ 的衰减率与 [6] 和 [7] 中的结果相比如何？
• RQ3 当 $ g(t) = a(1+t)^{-q} $，$ q > 2 $ 时，$ E(t) $ 的最优衰减估计是什么？其如何依赖于结构假设 (1.7) 或 (1.8)？
• RQ4 能否构造一个李雅普诺夫泛函，以在一般条件 $ g' \leq -\xi g^p $，$ p < 1.5 $ 下捕捉完整的衰减行为？
• RQ5 新的衰减估计是否优于先前文献中针对同一类松弛函数的多项式与指数衰减结果？

主要发现

• 当 $ g(t) = a(1+t)^{-q} $，$ q > 2 $ 时，在条件 (1.7) 下能量衰减为 $ E(t) \leq C(1+t)^{\frac{-q^2 + q + 1}{q}} $，其快于 [7] 中推导出的 $ (1+t)^{-p} $ 衰减率（其中 $ p < \frac{q-1}{2} $）。
• 在条件 (1.8) 下，能量衰减为 $ E(t) \leq C t^{-\frac{q}{q+1}} $，其快于 [7] 中的 $ (1+t)^{-\frac{p}{p+1}} $ 衰减率（其中 $ p < \frac{q-1}{2} $）。
• 衰减率 $ E(t) \leq C(1+t)^{\frac{-q^2 + q + 1}{q}} $ 在最优性意义上成立，因为它优于 [7] 中针对 $ q > 2 $ 推导出的多项式衰减率。
• 估计式 $ E(t) \leq C \left( \frac{E_2(0) + E^{2p-1}(0) + \int_0^t h^{2p-1}(s) ds}{\int_0^t \xi^{2p-1}(s) ds} \right)^{\frac{1}{2p-1}} $ 为 $ 1 \leq p < \frac{3}{2} $ 提供了一般衰减框架，扩展了先前结果。
• 该方法成功处理了此前工作未充分覆盖的 $ p < \frac{3}{2} $ 情况，并提供了比现有文献更精确的衰减估计。