[论文解读] Stability of analytical solutions and convergence of numerical methods for non-linear stochastic pantograph differential equations

Minghui Song, Yulan Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文建立了非线性随机泛函微分方程（SPDEs）解析解多项式稳定性的充分条件，并证明了半隐式欧拉方法的收敛性。在Lipschitz型条件下，推导出均方和几乎必然的多项式稳定性；在漂移和扩散系数满足适当假设下，证明了方法在均方和平均意义下的二阶一致性和收敛性，收敛阶为 $ O(h^{1/2}) $。

ABSTRACT

In this paper, we study the polynomial stability of analytical solution and convergence of the semi-implicit Euler method for non-linear stochastic pantograph differential equations. Firstly, the sufficient conditions for solutions to grow at a polynomial rate in the sense of mean-square and almost surely are obtained. Secondly, the consistence and convergence of this method are proved. Furthermore, the orders of consistence (in the sense of average and mean-square) and convergence are given, respectively.

研究动机与目标

• 分析非线性随机泛函微分方程（SPDEs）解析解的多项式稳定性。
• 建立在何种充分条件下，解在均方和几乎必然意义下以多项式速率增长。
• 研究具有泛函延迟的SPDEs的半隐式欧拉方法的一致性和收敛性。
• 推导该数值方法在均方和平均意义下的相容性和收敛阶。

提出的方法

• 利用李雅普诺夫型泛函和随机微分方程的比较原理，推导多项式稳定性的充分条件。
• 应用半隐式欧拉方法对SPDE进行离散化，其中参数 $ \theta \in [0,1] $ 控制隐式程度。
• 使用伊tô公式和矩估计，界定精确解与数值解之间的误差。
• 通过涉及条件期望和鞅性质的递推不等式建立误差界。
• 应用Gronwall型论证和随机估计，控制误差在时间上的传播。
• 通过界定时间网格上最大误差的上界，推导出在均方意义下收敛阶为 $ O(h^{1/2}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有泛函延迟的非线性SPDEs的解在均方意义下表现出多项式稳定性？
• RQ2 在何种充分条件下，此类SPDEs的零解在几乎必然意义下具有多项式稳定性？
• RQ3 半隐式欧拉方法在这些方程中的一致性和收敛性表现如何？
• RQ4 半隐式欧拉方法在均方和平均意义下的相容性和收敛阶是多少？
• RQ5 漂移和扩散系数的Lipschitz性质如何影响收敛行为？

主要发现

• 若漂移和扩散系数满足特定Lipschitz条件，且系统参数满足 $ \bar{a} + \bar{b} q^\alpha = 0 $ 且 $ \alpha < 0 $，则零解是均方多项式稳定的。
• 在相同Lipschitz条件下，几乎必然多项式稳定性成立，且解以几乎必然速率 $ t^\alpha $ 衰减。
• 半隐式欧拉方法在平均意义下具有 $ O(h) $ 的相容阶，在均方意义下具有 $ O(h^{1/2}) $ 的相容阶。
• 该方法在均方意义下具有 $ O(h^{1/2}) $ 的收敛阶，且在时间区间 $[0,T]$ 上一致。
• 当 $ \theta \in [0,1] $ 时，收敛结果成立，且误差界与延迟比 $ q \in (0,1) $ 无关，前提是 $ h $ 足够小。
• 误差估计在时间上是一致的，且依赖于初始条件以及系数的Lipschitz常数。