[论文解读] Stability of anti-canonically balanced metrics

Shunsuke Saito, Ryosuke Takahashi|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文为法诺流形上伯格曼测地线射线的量化丁 functional 建立了斜率公式，将其渐近行为与唐纳森-富塔基不变量及 Chow 权联系起来。论文引入了一种新的代数几何稳定性——F-稳定性，该稳定性由反 canonically 平衡度量的存在性所蕴含，并证明了 Kähler-Einstein 度量偏离函数的 $L^q$-范数的下界估计。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of quantized Ding functionals along Bergman geodesic rays and prove that the slope at infinity can be expressed in terms of Donaldson-Futaki invariants and Chow weights. Based on the slope formula, we introduce a new algebro-geometric stability on Fano manifolds and show that the existence of anti-canonically balanced metrics implies our stability. The relation between our stability and others is also discussed. As another application of the slope formula, we get the lower bound estimate on the Calabi like functionals on Fano manifolds.

研究动机与目标

• 理解量化丁泛函沿法诺流形上伯格曼测地线射线的渐近行为。
• 基于斜率公式及其与平衡度量的关系，定义一种新的代数几何稳定性（F-稳定性）。
• 建立衡量与 Kähler-Einstein 度量偏离程度的函数的 $L^q$-范数的下界估计。
• 阐明 F-稳定性、Chow 稳定性及其他已知稳定性（如 K-稳定性）之间的关系。

提出的方法

• 利用测试配置和量化富塔基不变量，推导出沿伯格曼测地线射线的量化丁泛函的斜率公式。
• 引入量化富塔基不变量 $Fut_k(/mathcal{X},/mathcal{L})$ 作为结合唐纳森-富塔基不变量与 Chow 权的关键不变量。
• 通过斜率公式的非负性定义 $k$ 阶 F-多项式稳定性，推广 Chow 稳定性。
• 应用 Hölder 不等式与渐近分析，估计衡量与 Kähler-Einstein 度量偏离程度的函数 $B(\phi)$ 的 $L^q$-范数。
• 利用 $H^0(X, -kK_X)$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用，将无穷小生成元 $A$ 与泛函的斜率联系起来。
• 采用测试配置的 $p$-范数与 $m$ 的渐近展开，推导出 $||B(\phi)||_{L^q}$ 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿伯格曼测地线射线的量化丁泛函在无穷远处的斜率如何与代数几何不变量相关？
• RQ2 反 canonically $k$-平衡度量的存在性与 F-稳定性之间的确切关系是什么？
• RQ3 F-稳定性与 Chow 稳定性及其他稳定性概念（如 K-稳定性）相比如何？
• RQ4 函数 $B(\phi)$ 的 $L^q$-范数能否用几何不变量从下方有界？
• RQ5 中心纤维的奇点与 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 条件在斜率公式中起什么作用？

主要发现

• 量化丁泛函在无穷远处的斜率由 $\frac{Fut_k(\mathcal{X},\mathcal{L})}{kN_k} - q$ 给出，其中 $q$ 是依赖于中心纤维的非负有理数。
• 当且仅当测试配置为 $\mathbb{Q}$-Gorenstein，$\mathcal{L} \cong -kK_{\mathcal{X}/\mathbb{C}}$，且中心纤维具有至多对数终端奇点时，量 $q$ 恰好为零。
• 反 canonically $k$-平衡度量的存在性蕴含 $k$ 阶 F-多项式稳定性，建立了分析稳定性与代数几何稳定性之间的联系。
• 渐近 Chow 多项式稳定性蕴含渐近 F-多项式稳定性，表明 F-稳定性弱于 Chow 稳定性。
• 建立了 $B(\phi)$ 的 $L^q$-范数的下界：当 $m \to \infty$ 时，$||B(\phi)||_{L^q(\omega_\phi^n/n!)} \geq -DF(\mathcal{X},\mathcal{L}) + O(m^{-1})$，其中 $DF$ 为唐纳森-富塔基不变量。
• 该下界通过测试配置的 $p$-范数与矩阵 $\underline{M}(H)$ 的 $q$-范数的渐近分析推导得出，从而得到以唐纳森-富塔基不变量表示的统一下界。