[论文解读] Stability of direct images under Frobenius morphism

Xiaotao Sun|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文在正特征下建立了光滑射影代数簇上向量丛在弗罗贝尼乌斯态射下的直接像的稳定性。通过利用典范联络，将曲线情形下的典范滤子推广至高维代数簇，证明该滤子的分次项同构于 $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $，并表明在曲线情形下，若 $ W $ 稳定，则 $ F_*W $ 稳定，为高维情形的分析奠定基础。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective variety over an algebraically field $k$ with ${ m char}(k)=p>0$ and $F:X o X_1$ be the relative Frobenius morphism. When ${ m dim}(X)=1$, we prove that $F_*W$ is a stable bundle for any stable bundle $W$ (Theorem ef{thm1.3}). As a step to study the question for higher dimensional $X$, we generalize the canonical filtration (defined by Joshi-Ramanan-Xia-Yu for curves) to higher dimensional $X$ (Theorem ef{thm2.6}).

研究动机与目标

• 将正特征下曲线情形中稳定丛 $ W $ 的 $ F_*W $ 稳定性结果推广至高维代数簇。
• 将乔舒-拉马纳南-夏-余为曲线定义的典范滤子推广至高维光滑射影代数簇。
• 利用典范联络 $ \nabla $ 定义并研究滤子 $ 0 = V_{n(p-1)+1} \subset \cdots \subset V_0 = F^*(F_*W) $。
• 分析分次项 $ V_i/V_{i+1} \cong W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ 的结构，其中 $ (\Omega^1_X)^{[i]} $ 通过 $ \mathrm{GL}(n) $-表示理论定义。
• 为以 $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ 的不稳定性来界定 $ F_*W $ 的不稳定性提供框架，适用于高维情形。

提出的方法

• 通过 $ p $-曲率为零的联络 $ \nabla: V \to V \otimes \Omega^1_X $ 在 $ V = F^*(F_*W) $ 上定义典范滤子。
• 通过 $ V_{i+1} = \ker(V_i \xrightarrow{\nabla} V \otimes \Omega^1_X \to V/V_i \otimes \Omega^1_X) $ 构造滤子，推广曲线情形。
• 在 $ k[[x_1, \dots, x_n]] $ 中进行局部计算，证明 $ I_i $ 由满足 $ \sum k_j \geq i $ 的单项式 $ \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n} $ 生成，其中 $ \alpha_j = x_j \otimes 1 - 1 \otimes x_j $。
• 定义 $ (\Omega^1_X)^{[i]} \subset (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ 为与 $ \mathrm{GL}(n) $-表示 $ V^{[i]} $ 关联的子丛，其由指数 $ \leq p-1 $ 的对称张量张成。
• 证明复合映射 $ \nabla^i: V_i/V_{i+1} \to (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ 可分解并通过同构识别为 $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $。
• 利用 $ F^*\mathcal{E} \subset F^*(F_*W) $ 对任意子层 $ \mathcal{E} \subset F_*W $ 的诱导滤子，通过比较斜率证明稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 $ p > 0 $ 的光滑射影曲线 $ X $ 上，若向量丛 $ W $ 稳定，是否蕴含其在相对弗罗贝尼乌斯态射下的直接像 $ F_*W $ 也稳定？
• RQ2 能否通过典范联络将曲线情形下 $ F^*(F_*W) $ 的典范滤子推广至高维代数簇？
• RQ3 当 $ \dim X = n > 1 $ 时，$ F^*(F_*W) $ 上广义滤子的分次项 $ V_i/V_{i+1} $ 的结构为何？
• RQ4 在高维情形下，$ F_*W $ 的不稳定性与丛 $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ 的不稳定性有何关系？
• RQ5 当 $ W $ 半稳定时，$ F^*(F_*W) $ 上的滤子是否与哈德勒-纳拉西姆汉滤子相容？

主要发现

• 在曲线情形（$ \dim X = 1 $）下，若 $ W $ 稳定，则 $ F_*W $ 稳定；此结果通过典范滤子与斜率比较得以证明。
• 通过 $ p $-曲率为零的联络 $ \nabla $，$ F^*(F_*W) $ 上的典范滤子可推广至高维，得到长度为 $ n(p-1)+1 $ 的滤子。
• 分次项满足 $ V_i/V_{i+1} \cong W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $，其中 $ (\Omega^1_X)^{[i]} \subset (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ 是由指数有界的对称张量生成的 $ \mathrm{GL}(n) $-子表示。
• 在特征 $ p > 0 $ 下，当 $ i < p $ 时，有 $ (\Omega^1_X)^{[i]} \cong \mathrm{Sym}^i(\Omega^1_X) $，但当 $ i \geq p $ 时一般不成立。
• 映射 $ \nabla^i: V_i/V_{i+1} \to (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ 是单射，且将 $ V_i/V_{i+1} $ 同构于 $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $，从而确立了滤子的结构。
• 该构造为以 $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ 的不稳定性来界定 $ F_*W $ 的不稳定性提供了框架，为高维稳定性结果的建立奠定基础。