[论文解读] Stability of equilibrium and periodic solutions of a delay equation modeling leukemia

Anca-Veronica Ion, Raluca-Mihaela Georgescu|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Chronic Myeloid Leukemia Treatments参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文分析了在延迟微分方程建模慢性骨髓性白血病时，由霍普夫分支产生的周期解的稳定性。利用中心流形约化和正规型理论，计算了首个李雅普诺夫系数，结果表明当延迟超过霍普夫分支阈值时，周期轨道是稳定的，该结论通过特定参数下的数值模拟得到验证。

ABSTRACT

We consider a delay differential equation that occurs in the study of chronic myelogenous leukemia. After shortly reminding some previous results concerning the stability of equilibrium solutions, we concentrate on the study of stability of periodic solutions emerged by Hopf bifurcation from a certain equilibrium point. We give the algorithm for approximating a center manifold at a typical point (in the parameter space) of Hopf bifurcation (and an unstable manifold in the vicinity of such a point, where such a manifold exists). Then we find the normal form of the equation restricted to the center manifold, by computing the first Lyapunov coefficient. The normal form allows us to establish the stability properties of the periodic solutions occurred by Hopf bifurcation.

研究动机与目标

• 研究在慢性骨髓性白血病延迟微分方程中，从非平凡平衡点通过霍普夫分支产生的周期解的稳定性。
• 开发一种算法，用于近似霍普夫分支点附近的中心流形和不稳定流形。
• 利用首个李雅普诺夫系数，计算限制在中心流形上的方程的正规型。
• 确定由霍普夫分支产生的周期解的稳定性特性。

提出的方法

• 该研究使用中心流形理论，将无限维的延迟微分方程在霍普夫分支点附近约化为有限维系统。
• 应用正规型理论计算首个李雅普诺夫系数，以确定分支周期解的稳定性。
• 该方法涉及求解向量场泰勒展开中二阶项的方程组，使用特征方程和特征值分析。
• 该算法使用符号计算计算中心流形和正规型系数，给出了 w11(0)、w11(-r) 和 f21 的显式公式。
• 周期轨道的稳定性由首个李雅普诺夫系数的符号决定：负值表示稳定，正值表示不稳定。
• 通过特定参数集和初始条件进行数值验证，以确认理论预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 在建模慢性骨髓性白血病的延迟微分方程中，由霍普夫分支产生的周期解的稳定性如何？
• RQ2 如何在霍普夫分支点处计算此类延迟方程的中心流形和正规型？
• RQ3 首个李雅普诺夫系数在确定分支周期解稳定性方面起什么作用？
• RQ4 延迟参数 r 的变化如何影响平衡点的稳定性及周期行为的出现？
• RQ5 数值模拟在多大程度上证实了关于周期解稳定性的理论预测？

主要发现

• 对于参数集 n*=12, β₀*=1.77, δ*=0.05, k*=1.180746972，霍普夫分支发生在 r*=0.3559207407，ω*=1.661686238。
• 在分支点处计算得到的首个李雅普诺夫系数为 l₁(r*) = -43.71063，表明周期解是稳定的。
• 当 r > r* 时，平衡点 x₂ 变得不稳定，且出现稳定的周期解，这与正规型 dρ/dt = (β(r) - ρ²)ρ（其中 β(r) > 0）一致。
• 当 r < r* 时，平衡点 x₂ 保持稳定，与 g(r*) = 0 及 dg/dr(r*) = -20.236 一致，表明当 r < r* 时有 g(r) > 0。
• 通过初始条件 φ(s) = cos(πs/(2r)) 进行数值积分，验证了理论结果：当 r=0.35 时为稳定平衡，r*=0.35592 时发生分支，当 r=0.36 时出现稳定周期振荡。
• 理论稳定性条件 (8) 与数值结果一致：当 r < r* 时平衡点稳定，当 r > r* 时不稳定，且该转变由 g(r) 的符号决定。