[论文解读] Stability of extremal metrics under complex deformations

Yann Rollin, Santiago R. Simanca+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2011

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

该论文证明了在极值凯勒度量具有相对于紧致等距群的非退化Futaki不变量时，极值凯勒度量在极化流形的复变形下保持稳定，即对于小变形，极值度量在维度为 h^{1,1}(X) 的族中持续存在。该结果被应用于证明某些Mukai-Umemura 3-流形的复变形携带凯勒爱因斯坦度量。

ABSTRACT

Let (X,\Omega) be a closed polarized complex manifold, g be an extremal metric on X that represents the Kahler class \Omega, and G be a compact connected subgroup of the isometry group Isom(X,g). Assume that the Futaki invariant relative to G is nondegenerate at g. Consider a smooth family $(M o B)$ of polarized complex deformations of (X,\Omega)\simeq (M_0,\Theta_0) provided with a holomorphic action of G with trivial action on B. Then for every t\in B sufficiently small, there exists an h^{1,1}(X)-dimensional family of extremal Kaehler metrics on M_t whose Kahler classes are arbitrarily close to \Theta_t. We apply this deformation theory to show that certain complex deformations of the Mukai-Umemura 3-fold admit Kaehler-Einstein metrics.

研究动机与目标

• 建立极值凯勒度量在极化流形复变形下持续存在的条件。
• 分析相对于紧致等距群的Futaki不变量在确保度量稳定性中的作用。
• 将变形理论推广至具有群作用及非退化相对Futaki不变量的流形。
• 将理论框架应用于构造Mukai-Umemura 3-流形特定复变形上的凯勒爱因斯坦度量。

提出的方法

• 利用极化复流形 (X, Ω) 的光滑极化复变形族 (M_t, Θ_t)，其中存在在基空间 B 上平凡作用的全纯 G-作用。
• 要求在初始极值度量 g 上，相对于 G 的Futaki不变量为非退化。
• 应用变形理论，证明对足够小的 t ∈ B，每个 M_t 上存在维度为 h^{1,1}(X) 的极值凯勒度量族。
• 确保这些度量的凯勒类与 Θ_t 任意接近，从而保持上同调结构。
• 利用相对Futaki不变量的非退化性，保证在变形下极值度量方程的可解性。
• 将一般结果应用于Mukai-Umemura 3-流形，证明某些复变形存在凯勒爱因斯坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极化复流形上的极值凯勒度量在复变形下能够持续存在？
• RQ2 相对Futaki不变量的非退化性如何影响变形族中极值度量的存在性？
• RQ3 在群等变变形下，从初始极值度量可变形出的极值度量族的维度是多少？
• RQ4 极值度量的变形理论能否用于构造特定复流形上的凯勒爱因斯坦度量？
• RQ5 Mukai-Umemura 3-流形的复变形是否具有凯勒爱因斯坦度量，若有，其条件为何？

主要发现

• 对每个足够小的 t ∈ B，M_t 上存在维度为 h^{1,1}(X) 的极值凯勒度量族，其凯勒类与 Θ_t 任意接近。
• 当相对于 G 的相对Futaki不变量在初始度量处非退化时，极值度量在变形下的持续性得到保证。
• 该结果适用于具有紧致连通等距群 G 且在变形族基空间上平凡作用的流形。
• 该方法证实了某些Mukai-Umemura 3-流形复变形上存在凯勒爱因斯坦度量。
• 变形族保持上同调数据，确保凯勒类在极限下与原始类 Ω 保持接近。