[论文解读] Stability of fractional-order nonlinear systems by Lyapunov direct method

Hoang The Tuan, Hieu Trinh|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种严格的分数阶李雅普诺夫函数方法，用于分析分数阶非线性系统的稳定性，克服了先前工作中存在的关键局限。该方法在无需假设解的全局存在性或伪状态可微性的情况下，利用分数阶导数不等式和伏尔泰拉积分方程的性质，证明了在凸李雅普诺夫函数下的渐近稳定性。

ABSTRACT

In this paper, by using a characterization of functions having fractional derivative, we propose a rigorous fractional Lyapunov function candidate method to analyze stability of fractional-order nonlinear systems. First, we prove an inequality concerning the fractional derivatives of convex Lyapunov functions without the assumption on the existence of derivative of pseudo-states. Second, we establish fractional Lyapunov functions to fractional-order systems without the assumption on the global existence of solutions. Our theorems fill the gaps and strengthen results in some existing papers.

研究动机与目标

• 解决由于分数阶导数计算困难而导致的分数阶非线性系统缺乏严格稳定性分析方法的问题。
• 克服现有分数阶李雅普诺夫方法中对解的全局存在性和伪状态可微性的依赖。
• 通过使用凸李雅普诺夫函数和分数阶导数，提供一个数学上严谨的稳定性分析框架。
• 填补先前证明中的关键漏洞，特别是那些依赖于关于解行为和导数存在性错误假设的漏洞。
• 为将李雅普诺夫第二方法应用于分数阶系统建立一个稳健的理论基础，且仅需最小的正则性假设。

提出的方法

• 利用具有分数阶导数的函数的表征，定义李雅普诺夫候选函数，而无需伪状态可微性。
• 应用伏尔泰拉积分方程正解的性质，在最小正则性条件下推导稳定性条件。
• 建立一个关于凸李雅普诺夫函数分数阶导数的新不等式，且不假设伪状态导数的存在性。
• 提出一种新颖的分数阶李雅普诺夫函数框架，无需假设系统解的全局存在性。
• 采用Caputo分数阶导数，并构造满足特定条件 (V.i)-(V.iii) 的李雅普诺夫函数，以确保渐近稳定性。
• 通过理论证明和两个说明性例子验证该方法，包括一个具有三次非线性的非线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设解的全局存在性的情况下，为分数阶非线性系统开发一种严格的李雅普诺夫方法？
• RQ2 是否可能在不要求伪状态导数存在的前提下，建立分数阶李雅普诺夫稳定性条件？
• RQ3 在最小正则性假设下，如何证明凸李雅普诺夫函数的分数阶导数不等式？
• RQ4 使用李雅普诺夫函数时，分数阶系统渐近稳定性的必要与充分条件是什么？
• RQ5 能否通过更稳健的理论框架纠正文献中现有证明的缺陷？

主要发现

• 本文证明了一个关于凸李雅普诺夫函数分数阶导数的新不等式，且无需伪状态导数存在。
• 建立了不假设分数阶系统解全局存在的分数阶李雅普诺夫函数方法。
• 该方法被应用于一个具有对称正定矩阵的线性系统，证明了零解的渐近稳定性。
• 对于非线性系统 $ {}^{C}D^{eta}_{0+}x(t) = -x^3(t) $，该方法确认了当 $ eta = 0.8 $ 时零解的渐近稳定性，该结论通过数值轨迹得到验证。
• 作者识别并纠正了先前工作中存在的缺陷，包括 [6, 定理11] 和 [9, 定理2] 中基于无效导数不等式的错误假设。
• 理论结果通过两个例子得到支持，表明解在有限时间内收敛至零邻域，例如初始值在 [-1,1] 范围内时，收敛可在1000秒内实现。