[论文解读] Stability of ground state degeneracy to long-range interactions

Matthew F. Lapa, Michael Levin|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

本文证明了具有精确基态简并度的某些具有能隙的量子多体系统在长程（例如幂律）相互作用下仍保持稳定，表明简并基态之间的残余能级分裂在系统尺寸上呈指数小。作者采用适配于长程相互作用的收敛聚合物展开方法，严格建立了能隙稳定性和指数小的分裂，将已知的短程结果扩展至长程微扰。

ABSTRACT

We show that some gapped quantum many-body systems have a ground state degeneracy that is stable to long-range (e.g., power-law) perturbations, in the sense that any ground state energy splitting induced by such perturbations is exponentially small in the system size. More specifically, we consider an Ising symmetry-breaking Hamiltonian with several exactly degenerate ground states and an energy gap, and we then perturb the system with Ising symmetric long-range interactions. For these models we prove (1) the stability of the gap, and (2) that the residual splitting of the low-energy states below the gap is exponentially small in the system size. Our proof relies on a convergent polymer expansion that is adapted to handle the long-range interactions in our model. We also discuss applications of our result to several models of physical interest, including the Kitaev p-wave wire model perturbed by power-law density-density interactions with an exponent greater than 1.

研究动机与目标

• 建立在长程相互作用下，具有能隙的量子多体系统基态简并度的稳定性。
• 证明尽管存在长程微扰，简并基态之间的残余能级分裂在系统尺寸上仍保持指数小。
• 将现有的短程稳定性结果扩展至长程（例如幂律）相互作用，这类相互作用在如拓扑超导体等物理系统中很常见。
• 发展一种数学框架——具体而言，是收敛聚合物展开——以处理具有精确基态简并度系统的长程相互作用。

提出的方法

• 通过引入考虑幂律衰减的修正收敛条件，将聚合物展开技术适配于长程相互作用。
• 通过递归构造最小弱连通聚合物，限制对微扰展开有贡献的相关构型数量。
• 引入一种顶点增长过程，系统地从不连通组分构建连通聚合物，通过受控可求和性保持收敛性。
• 对带有指数和幂律因子的聚合物进行加权求和，以控制微扰级数中贡献的增长。
• 通过子集计数之和与 $(\text{const})^m$ 因子的结合，对最小弱连通聚合物的数量建立上界，以确保收敛性。
• 通过证明总贡献被 $e^{c\tilde{\rho}\rho}$ 有界，确立展开式的收敛性，从而确保能隙的稳定性和指数小的分裂。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有能隙的量子多体系统之基态简并度是否能在长程相互作用下保持稳定？
• RQ2 当受长程相互作用微扰时，简并基态之间的残余能级分裂是否在系统尺寸上呈指数小？
• RQ3 聚合物展开方法能否被适配以处理长程相互作用，同时保持收敛性和指数界？
• RQ4 在具有精确基态简并度的系统中，Ising 对称的长程微扰下能隙是否仍保持打开？

主要发现

• 能隙在长程微扰下保持打开，证明了系统中能谱间隙的稳定性。
• 简并基态之间的残余分裂在系统尺寸上呈指数小，具体被 $e^{-cL}$ 有界，其中 $c>0$。
• 在修正条件下，聚合物展开收敛，使得对基态能量微扰修正的严格控制成为可能。
• 该方法适用于相互作用以大于 1 的指数幂律衰减的模型，例如 Kitaev p-波导线模型。
• 结果将已知的短程稳定性结果推广至长程相互作用，填补了对鲁棒基态简并度理解中的关键空白。