[论文解读] Stability of Linear Set-Membership Filters With Respect to Initial Conditions: An Observation-Information Perspective

Yirui Cong, Xiangke Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2022

Fault Detection and Control Systems被引用 4

一句话总结

本文提出了观测-信息-塔（OIT）框架，用于分析和确保线性集合成员滤波器（SMFs）的稳定性，揭示了经典SMFs因依赖于真实初始状态范围的精确知识而对初始条件敏感。本文提出了一种新型OIT启发的滤波框架，无论初始条件如何均能保证稳定性，从而实现一种稳定且快速的约束zono拓扑SMF，具有统一有界的估计偏差并提升了鲁棒性。

ABSTRACT

The issue of filter stability with respect to (w.r.t.) the initial condition refers to the unreliable filtering process caused by improper prior information of the initial state. This paper focuses on analyzing and resolving the stability issue w.r.t. the initial condition of the classical Set-Membership Filters (SMFs) for linear time-invariance systems, which has not yet been well understood in the literature. To this end, we propose a new concept -- the Observation-Information Tower (OIT), which describes how the measurements affect the estimate in a set-intersection manner without relying on the initial condition. The proposed OIT enables a rigorous stability analysis, a new SMFing framework, as well as an efficient filtering algorithm. Specifically, based on the OIT, explicit necessary and sufficient conditions for stability w.r.t. the initial condition are provided for the classical SMFing framework. Furthermore, the OIT inspires a stability-guaranteed SMFing framework, which fully handles the stability issue w.r.t. the initial condition. Finally, with the OIT-inspired framework, we develop a fast and stable constrained zonotopic SMF, which significantly overcomes the wrapping effect.

研究动机与目标

• 为解决线性集合成员滤波器（SMFs）稳定性方面缺乏理论理解的问题，特别是其对初始条件的敏感性。
• 识别经典SMF框架不稳定的根本原因，即其依赖于对真实初始状态范围的精确知识。
• 设计一种新的滤波框架，确保稳定性与初始条件无关，从而克服病态性问题和无界估计偏差。
• 通过利用新型OIT启发框架，设计一种快速、精确且稳定的约束zono拓扑SMF。
• 基于集合交集动力学和时间相关观测信息，建立严格的稳定性准则。

提出的方法

• 提出观测-信息-塔（OIT）框架，一种新颖的概念性框架，用于建模测量如何通过集合交集递归地约束状态估计。
• 利用OIT对经典SMF框架进行形式化分析，证明稳定性要求精确掌握真实初始状态范围，因此对初始条件误差高度敏感。
• 提出一种新型OIT启发的滤波框架，将估计过程与初始条件依赖性解耦，确保无论初始猜测如何均能保持稳定性。
• 通过利用约束zono在预测和更新步骤中对Minkowski和与集合交集的封闭性，开发出稳定、快速的约束zono拓扑SMF。
• 利用谱范数和次乘性矩阵界推导估计直径的统一有界性，确保估计不会无界增长。
• 通过证明估计集合的直径在时间上保持统一有界，建立有界的估计偏差，即使在近似和简化效应下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典线性SMF框架在何种条件下是稳定的？初始条件在该稳定性中起什么作用？
• RQ2 为何经典SMFs尽管估计具有统一有界性，却仍存在病态性和无界估计偏差？
• RQ3 能否设计一种新滤波框架，使稳定性与初始条件无关？
• RQ4 如何利用OIT框架对线性SMFs进行严格分析并保证其稳定性？
• RQ5 能否在新框架下开发出一种稳定、快速且精确的约束zono拓扑SMF？

主要发现

• 当初始条件不匹配时，经典线性SMF框架不稳定，因其要求精确掌握真实初始状态范围，否则将导致空估计或无界估计偏差。
• OIT框架使严格稳定性分析成为可能，揭示经典SMF对初始条件敏感，原因在于其依赖于对初始范围的精确知识。
• 所提出的OIT启发框架可保证无论初始条件如何均实现稳定性，消除了病态性并确保估计偏差有界。
• 估计集合的直径在时间上保持统一有界，其上界为 $ \bar{d}_{\mathrm{cz}} = \|P^{-1}\|\sqrt{(\bar{d}_{\mathrm{cz}}^{o})^{2} + (\bar{d}_{\mathrm{cz}}^{\bar{o}})^{2}} $，确保长期鲁棒性。
• 在新框架下开发的约束zono拓扑SMF保持了紧密的估计结果，且由于在Minkowski和与集合交集下的封闭性，计算效率得到提升。
• 估计偏差在所有时间步均保持有界，满足 $ d_{k}^{\mathrm{g}}(\mathcal{Z}_{k}) \leq \bar{d}_{\mathrm{cz}} $，证明对初始条件误差不敏感。