[论文解读] Stability of linear switched systems with quadratic bounds and Observability of bilinear systems

Moussa Baldé, Philippe Jouan|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用 2

一句话总结

本文通过证明与一个低维子空间上的关联双线性系统一致可观测性之间的等价性，建立了具有公共非严格二次李雅普诺夫函数的切换线性系统的全局一致渐近稳定性（GUAS）的充分条件。关键贡献在于揭示了切换线性系统稳定性与双线性系统可观测性之间的对偶关系，从而通过可观测性分析实现了新的稳定性判据。

ABSTRACT

The aim of this paper is to give sufficient conditions for a switched linear system defined by a pair of Hurwitz matrices that share a common but not strict quadratic Lyapunov function to be GUAS. We show that this property is equivalent to the uniform observability of a bilinear system defined on a subspace whose dimension is in most cases much smaller than the dimension of the switched system. Some sufficient conditions of uniform asymptotic stability are then deduced from the equivalence theorem, and illustrated by examples.

研究动机与目标

• 建立具有公共非严格二次李雅普诺夫函数的切换线性系统的全局一致渐近稳定性（GUAS）的充分条件。
• 识别切换线性系统稳定性与关联双线性系统在低维子空间上一致可观测性之间的结构性等价关系。
• 基于双线性系统表示的可观测性特性，推导出新的稳定性判据。
• 通过具体实例说明理论结果，展示所提条件的应用性。

提出的方法

• 本文构建了一个维数通常远小于原始切换线性系统维数的子空间上的双线性系统。
• 建立了切换线性系统的全局一致渐近稳定性（GUAS）与所导出双线性系统一致可观测性之间的数学等价性。
• 分析依赖于赫尔维茨矩阵的性质，以及系统子系统共有的非严格二次李雅普诺夫函数的存在性。
• 该方法利用对偶性原理，将稳定性问题转化为可观测性问题，借助双线性系统理论中的已知结果。
• 该方法允许通过验证低维双线性系统的可观测性，推导出充分的稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有公共非严格二次李雅普诺夫函数的切换线性系统是全局一致渐近稳定的？
• RQ2 如何通过关联双线性系统的可观测性来表征切换线性系统的稳定性？
• RQ3 在稳定性分析中，双线性系统子空间的维数与原始切换系统维数之间存在何种关系？
• RQ4 在低维子空间上双线性系统的均匀可观测性是否可作为原始切换系统GUAS的充分条件？

主要发现

• 具有公共非严格二次李雅普诺夫函数的切换线性系统的全局一致渐近稳定性（GUAS）等价于其关联双线性系统在低维子空间上的均匀可观测性。
• 双线性系统状态空间的维数通常远小于原始切换系统的维数，从而实现了更高效的稳定性分析。
• 基于双线性系统的可观测性特性，推导出了GUAS的充分条件，为稳定性验证提供了新途径。
• 稳定性与可观测性之间的等价性使得可以利用双线性系统理论中已建立的工具来分析切换线性系统。