[论文解读] Stability of Majorana Edge Zero Modes against Interactions

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

该论文证明了在费米子数偶性保持的通用弱相互作用下，相互作用Majorana链中Majorana边缘零模及其关联能隙的稳定性。通过微扰展开和Lieb-Robinson界，证明了零模保持局域性，能隙持续存在，且边缘模的拓扑保护在微扰下得以保留。研究将结果推广至双链结构，表明奇数条腿的系统中存在Z₂指数稳定性。

ABSTRACT

We study an interacting Majorana chain with an open boundary condition. In the case without interactions, the system shows a prototypical Majorana edge zero mode in the sector of the ground state with a spectral gap above the sector. We prove that both of the Majorana edge zero mode and the non-vanishing spectral gap are stable against generic weak interactions whose fermion parity is even. We also deal with the corresponding ladder systems, and discuss the $\mathbb{Z}_2$ index for the Majorana edge zero modes.

研究动机与目标

• 建立在通用弱相互作用下，相互作用Majorana链中Majorana边缘零模的稳定性。
• 证明基态上方非零能隙在该类相互作用下保持稳定。
• 将分析扩展至Majorana双链系统，并为边缘模定义Z₂拓扑指标。
• 证明Majorana边缘模的奇偶性区分在弱偶数费米子数偶性微扰下保持不变。

提出的方法

• 在弱相互作用存在下，构建Majorana边缘零模算符γ的级数展开。
• 应用由时间有序指数生成的幺正变换U(g)，将相互作用哈密顿量映射为自由形式。
• 使用具有次指数衰减函数的Lieb-Robinson界，证明变换后Majorana算符的局域性。
• 实施局部平均过程Π≥2m−1，以近似变换后的算符并控制非局域性。
• 推导出U(g)c2ℓ−1U(g)†的局部分解Δm(c2ℓ−1)，其范数呈次指数衰减。
• 依赖于仅具有偶数费米子数偶性的算符对换对界有贡献的事实，从而确保稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维链中，保留费米子数偶性的弱相互作用下，Majorana边缘零模是否能够保持稳定？
• RQ2 基态上方的能隙是否对这类相互作用保持稳定？
• RQ3 当存在多条链（双链结构）时，边缘模的稳定性如何变化，特别是引入相互作用后？
• RQ4 何种拓扑指标可表征相互作用双链系统中Majorana边缘模的稳定性？
• RQ5 边缘模数量的奇偶性在弱偶数费米子数偶性微扰下是否保持不变？

主要发现

• 通过收敛级数展开证明，Majorana边缘零模γ0在具有偶数费米子数偶性的通用弱相互作用下保持稳定且局域。
• 在相同类别的相互作用下，基态上方的能隙保持非零，确保了拓扑保护。
• 对于L条腿的Majorana双链系统，当L为奇数时，单个未配对的Majorana边缘零模在弱偶数费米子数偶性相互作用下依然存在，表明Z₂拓扑稳定性。
• 边缘模的Z₂指标对弱偶数费米子数偶性微扰具有鲁棒性，意味着零模数量的奇偶性特征得以保持。
• 通过Lieb-Robinson界证明了变换后Majorana算符U(g)c2ℓ−1U(g)†的局域性，其范数随距离边缘的距离呈次指数衰减。
• 该证明依赖于将变换后算符分解为局部分量Δm(c2ℓ−1)，每个分量的范数均呈次指数衰减，从而确保物理可实现性。