[论文解读] Stability of Non-Linear Filters and Observability of Stochastic Dynamical Systems

Curtis McDonald, Serdar Yüksel|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一种适用于随机非线性动力系统的通用且可计算的可观测性概念，并在期望和几乎必然意义下，针对弱合并、总变差和相对熵等多种收敛准则，建立了滤波器稳定性。所提出的框架推广并扩展了现有结果，使在加性噪声模型之外的各类系统中验证稳定性成为可能。

ABSTRACT

Filter stability is a classical problem for partially observed Markov processes (POMP). For a POMP, an incorrectly initialized non-linear filter is said to be stable if the filter eventually corrects itself with the arrival of new measurement information. In the literature, studies on the stability of non-linear filters either focus on the ergodic properties on the hidden Markov process, or the observability of the measurement channel. While notions of observability exist in the literature, they are difficult to verify for many systems and specific examples of observable systems are mostly restricted to additive noise models. In this paper, we introduce a general definition of observability for stochastic non-linear dynamical systems and compare it with related findings in the literature. Our notion involves a functional characterization which is easily computed for a variety of systems as we demonstrate. Under this observability definition we establish filter stability results for a variety of criteria including weak merging and total variation merging, both in expectation and in an almost sure sense, as well as relative entropy. We also consider the implications between these notions, which collect various results in the literature in a clear and concise manner. Our conditions, and the examples we study, complement and generalize the existing results on filter stability in the literature.

研究动机与目标

• 为解决非线性、部分观测的马尔可夫过程在滤波器稳定性理论方面的空白，提出一种通用且可计算的可观测性条件。
• 统一并澄清现有难以在实践中验证的可观测性概念。
• 在期望和几乎必然意义下，针对弱合并、总变差和相对熵等多种收敛准则，建立滤波器稳定性。
• 通过具体示例展示所提框架在标准加性噪声模型之外的应用性。
• 阐明不同稳定性概念之间的逻辑关系，并将文献中零散的结果整合为一个连贯的框架。

提出的方法

• 基于观测信道结构和隐含过程动力学，提出一种可观测性的函数表征。
• 通过定义关于费舍尔信息或似然比随时间行为的条件，实现可观测性的可计算性。
• 运用随机分析和遍历理论工具，推导在滤波后验分布弱收敛和几乎必然收敛下的稳定性。
• 使用相对熵作为真实后验分布与滤波后验分布之间差异的度量，从信息论角度建立稳定性。
• 将所提出的可观测性条件与文献中现有定义进行比较，证明其通用性与计算优势。
• 通过将可观测性与似然比的渐近行为相联系，系统性地验证不同收敛模式下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非加性噪声模型之外的非线性随机动力系统，定义一种通用且可计算的可观测性？
• RQ2 所提出的可观测性条件与文献中现有可观测性概念之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，非线性滤波器会以弱合并、总变差和相对熵准则收敛至真实后验分布？
• RQ4 在非线性滤波背景下，不同稳定性准则（弱合并、总变差、相对熵）之间有何关联？
• RQ5 所提出的框架是否可应用于经典遍历性或可观测性假设不成立的系统？

主要发现

• 所提出的可观测性条件在广泛非线性系统中具有函数可表征性与可计算性，包括具有非高斯和非加性噪声的系统。
• 在期望和几乎必然意义下，针对弱合并、总变差和相对熵准则，均建立了滤波器稳定性，扩展了先前结果。
• 该框架统一并澄清了不同稳定性概念之间的关系，表明更强的收敛准则（如总变差）蕴含更弱的准则（如弱合并）。
• 通过放宽对隐含过程和观测信道的假设，特别是超越加性噪声模型，该结果推广了现有滤波器稳定性定理。
• 本文提供了可观测性条件成立的具体示例，展示了其在经典可观测性难以验证的系统中的实际应用价值。
• 相对熵准则被证明是证明稳定性的有力工具，在附加正则性条件下可推导出收敛速率。