[论文解读] Stability of periodic waves of 1D cubic nonlinear Schr{\\"o}dinger equations

Stephen J. Gustafson, Stefan Le Coz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用 32

一句话总结

本文对一维立方非线性薛定谔方程中的cnoidal、dnoidal和snoidal周期波提供了变分表征，通过能量最小化证明了其在同周期扰动下的轨道稳定性。该研究在不依赖可积性的情况下建立了cnoidal和snoidal波的谱稳定性，推导出cnoidal波在长波长扰动下的线性不稳定性，并开发了一种数值梯度流方法以在质量与动量约束下计算能量极小化器，数值实验结果验证了其有效性。

ABSTRACT

We study the stability of the cnoidal, dnoidal and snoidal elliptic functions as spatially-periodic standing wave solutions of the 1D cubic nonlinear Schr{\\"o}dinger equations. First, we give global variational characterizations of each of these periodic waves, which in particular provide alternate proofs of their orbital stability with respect to same-period perturbations, restricted to certain subspaces. Second, we prove the spectral stability of the cnoidal waves against same-period perturbations (in a certain parameter range), and provide an alternate proof of this (known) fact for the snoidal waves, which does not rely on complete integrability. Third, we give a rigorous version of a formal asymptotic calculation of Rowlands to establish the instability of a class of real-valued periodic waves in 1D, which includes the cnoidal waves of the 1D cubic focusing nonlinear Schr{\\"o}dinger equation, against perturbations with period a large multiple of their fundamental period. Finally, we develop a numerical method to compute the minimizers of the energy with fixed mass and momentum constraints. Numerical experiments support and complete our analytical results.

研究动机与目标

• 在质量与动量约束下，建立cnoidal、dnoidal和snoidal波作为能量极小化的全局变分表征。
• 通过变分方法证明这些周期波在同周期扰动下的轨道稳定性，避免依赖完全可积性。
• 在特定参数范围内分析cnoidal和snoidal波的谱稳定性，提供一种非可积性依赖的证明方法。
• 严格确认cnoidal波在周期为基频周期大倍数的扰动下的线性不稳定性，扩展Rowlands的近似计算结果。
• 开发并验证一种带离散归一化的数值梯度流方法，用于在周期与半反对称约束下计算能量极小化器。

提出的方法

• 在周期函数空间与半反对称函数空间上构建能量最小化问题，以表征周期波解。
• 在基于$H^1$的函数空间中应用约束最小化，推导出cn、dn和sn波的变分表征。
• 对周期波形附近的线性化算子$L_+$和$L_-$进行谱分析，以评估谱稳定性。
• 采用带离散归一化的半隐式梯度流格式，在数值演化过程中保持质量与动量约束。
• 使用有限差分法对PDE进行离散化，并在半反对称最小化问题中应用投影步骤以强制实现反对称性。
• 通过数值延拓与收敛性监测验证理论预测，包括收敛至预期极小化器（如dn、cn、sn及平面波）。

实验结果

研究问题

• RQ1 cnoidal、dnoidal和snoidal波能否在固定质量与动量约束下被表征为能量的全局极小化器？
• RQ2 cnoidal与snoidal波在同周期扰动下的谱稳定性如何？是否可不依赖可积性进行证明？
• RQ3 Rowlands的渐近分析所提示的cnoidal波在长波长扰动下的线性不稳定性是否可被严格确立？
• RQ4 受约束的能量最小化的数值模拟结果与周期与半反对称情形下的解析预测相比如何？
• RQ5 在各种质量与动量约束下，该数值方法是否能成功收敛至预期极小化器（如非聚焦反对称情形下的sn）？

主要发现

• 在周期与半反对称函数空间中，cnoidal、dnoidal与snoidal波被全局表征为在固定质量与动量约束下的能量极小化器。
• 通过变分方法建立了这些波在同周期扰动下的轨道稳定性，结果与已知的受限扰动稳定性一致。
• 在某一参数范围内，证明了cnoidal与snoidal波的谱稳定性，提供了非可积性依赖的稳定性证明。
• 本文严格确认了cnoidal波在周期为基频周期大倍数的扰动下的线性不稳定性，验证了Rowlands的近似计算。
• 数值实验表明，结果收敛至预期极小化器：聚焦周期情形下为dn，聚焦反对称情形下为cn，非聚焦反对称情形下（零动量）为sn。
• 在非聚焦反对称情形下（零动量），数值结果支持如下猜想：即使在无动量约束时，snoidal波仍为质量约束下能量的极小化器。