[论文解读] Stability of Riemann solutions to pressureless Euler equations with Coulomb-like friction by flux approximation

Qingling Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文通过通量逼近方法，利用广义查普利金气体压强模型，建立了具有库仑类摩擦的非齐次无压强欧拉方程的黎曼解的稳定性。通过引入非线性通量扰动参数 A，逼近系统变为严格双曲型，并允许显式构造黎曼解，且当 A → 0 时，逼近解收敛于原系统解，包括 delta 激波和真空状态。

ABSTRACT

We study the stability of Riemann solutions to pressureless Euler equations with Coulomb-like friction under the nonlinear approximation of flux functions with one parameter. The approximated system can be seen as the generalized Chaplygin pressure Aw-Rascle model with Coulomb-like friction, which is also equivalent to the nonsymmetric system of Keyfitz-Kranzer type with generalized Chaplygin pressure and Coulomb-like friction. Compared with the original system, The approximated system is strictly hyperbolic, which has one eigenvalue genuinely nonlinear and the other linearly degenerate. Hence, the structure of its Riemann solutions is much different from the ones of the original system. However, it is proven that the Riemann solutions for the approximated system converge to the corresponding ones to the original system as the perturbation parameter tends to zero, which shows that the Riemann solutions to nonhomogeneous pressureless Euler equations is stable under such kind of flux approximation. The result in this paper generalizes the stability of Riemann solutions with respect to flux perturbation from the well-known homogeneous case to the nonhomogeneous case.

研究动机与目标

• 解决在具有库仑类摩擦的非齐次无压强欧拉方程中，黎曼解缺乏稳定性结果的问题。
• 分析在广义查普利金压强下，非线性通量逼近对黎曼解行为的影响。
• 建立当扰动参数 A 趋近于零时，逼近黎曼解向原系统解的收敛性。
• 证明在极限情况下，delta 激波解仍然存在，从而确认在通量扰动下解结构的稳定性。

提出的方法

• 通过广义查普利金压强律 $ P = -A/ ho^{ au} $ 引入通量逼近，其中 $ A > 0 $ 很小，将原非严格双曲型系统转化为严格双曲型系统。
• 通过新变量 $ w = u + P $ 重新表述系统，实现纯通量逼近，同时保持守恒形式。
• 为逼近系统 (1.2) 在初始数据 (1.5) 下构造显式黎曼解，识别出激波、接触间断以及 delta 激波结构。
• 分析当 $ A o 0 $ 时的渐近行为，证明逼近解收敛于原始无压强欧拉系统（具有库仑类摩擦）的对应解。
• 通过匹配广义兰金-休格尼奥特条件和熵条件，验证极限中 delta 激波结构的一致性。
• 与其它通量逼近方法（如 (6.1)）进行比较，突出保持 Temple 类结构对解稳定性的重要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用广义查普利金压强的通量逼近下，具有库仑类摩擦的非齐次无压强欧拉方程的黎曼解是否保持稳定？
• RQ2 引入小扰动参数 A 如何影响逼近系统的双曲性及解结构？
• RQ3 当 $ A o 0 $ 时，逼近黎曼解是否能收敛于原系统解（包括 delta 激波和真空状态）？
• RQ4 广义查普利金压强在扰动下如何保持黎曼解的结构特征？
• RQ5 通量逼近如何在摩擦存在的情况下保持 delta 激波的物理合理性？

主要发现

• 逼近系统 (1.2) 是严格双曲型，具有一个真实非线性特征场和一个线性退化特征场，从而可显式构造黎曼解。
• 当 $ u_+ < u_- $ 时，逼近系统 (1.2) 的黎曼解在 $ A > A_0 $ 时包含激波和接触间断；当 $ A \to A_0^+ $ 时，解结构过渡为 delta 激波。
• 当 $ A \to 0 $ 时，逼近系统黎曼解收敛于原始无压强欧拉系统（具有库仑类摩擦）的对应解，包括 delta 激波和真空状态。
• 极限中 delta 激波结构与广义兰金-休格尼奥特条件及熵条件一致，确认其物理有效性。
• 收敛在时间和空间上是一致的，且激波速度 $ x(t) = u_+ t + \frac{1}{2} \beta t^2 $ 和质量 $ w(t) $ 在极限下保持不变。
• 该结果将先前针对齐次情况的稳定性结果推广至含源项的非齐次情况，证实了黎曼解结构在通量扰动下的鲁棒性。