[论文解读] Stability of some versions of the Prékopa-Leindler inequality

Károly J. Böröczky, Keith Ball|ArXiv.org|Sep 21, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文在一维情形下建立了Prékopa-Leindler不等式的稳定性版本，并将其应用于推导Blaschke-Santaló不等式的稳定性结果，以及高维情形下关于偶对数凹函数的Prékopa-Leindler不等式。通过将Brunn-Minkowski不等式的稳定性版本作为关键工具，本文表明：当Prékopa-Leindler条件近乎满足时，相关函数在L¹范数下与同一参考对数凹函数的缩放和平移版本接近，误差界取决于乘法松弛度ε和对数项。

ABSTRACT

Two consequences of the stability version of the one dimensional Prékopa-Leindler inequality are presented. One is the stability version of the Blaschke-Santaló inequality, and the other is a stability version of the Prékopa-Leindler inequality for even functions in higher dimensions, where a recent stability version of the Brunn-Minkowski inequality is also used in an essential way.

研究动机与目标

• 建立一维Prékopa-Leindler不等式的稳定性版本，明确给出函数与逼近对数凹轮廓之间L¹距离的定量界。
• 将稳定性结果推广至[0, ∞)上Prékopa-Leindler不等式的乘法形式，其中要求函数单调递减且对数凹。
• 通过利用一维稳定性结果与几何约化技术，推导凸体Blaschke-Santaló不等式的稳定性版本。
• 通过一维稳定性与Brunn-Minkowski不等式，证明高维偶函数Prékopa-Leindler不等式的稳定性版本。
• 量化满足Prékopa-Leindler条件的函数与共同对数凹函数之间的接近程度，误差界以ε和log(ε)表示。

提出的方法

• 利用一维Prékopa-Leindler不等式的稳定性版本（定理1.2），该版本以ε和|ln ε|^{4/3}为参数，界定了函数f、g与参考对数凹函数m之间的L¹距离。
• 通过变量替换h(x) = H(e^x)e^x，将[0, ∞)上的乘法Prékopa-Leindler不等式转化为ℝ上的标准形式，从而可应用一维稳定性结果。
• 通过先前工作的几何与分析技术，将Blaschke-Santaló稳定性问题约化为具有轴对称旋转对称性的o-对称凸体。
• 利用Banach-Mazur距离与体积积估计，将体积积的稳定性与径向截面中Prékopa-Leindler不等式的稳定性联系起来。
• 通过径向切片与水平集（Φ_t, Ψ_t, Ω_t）比较函数f、g与m，通过在水平集上积分估计其对称差在L¹范数下的界。
• 应用Brunn-Minkowski不等式的稳定性形式，控制水平集的行为，并推导出f与g之间、以及f与m之间的L¹距离的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Prékopa-Leindler不等式近乎紧致时，如何以L¹逼近误差量化其在一维情形下的稳定性？
• RQ2 在体积积发生微小扰动时，Blaschke-Santaló不等式的稳定性行为如何？其与Prékopa-Leindler不等式有何关联？
• RQ3 高维偶函数的Prékopa-Leindler不等式能否实现稳定性？Brunn-Minkowski不等式在此扩展中起何作用？
• RQ4 满足Prékopa-Leindler条件的函数的水平集之间及其与参考对数凹函数之间有何关系？由此产生的L¹距离为何？
• RQ5 Prékopa-Leindler不等式中逼近误差对松弛参数ε的定量依赖关系如何？对数校正项如何产生？

主要发现

• 对于ℝ上非负可积函数f、g、m，其中m为对数凹函数，且满足m((r+s)/2) ≥ √(f(r)g(s))，若∫m ≤ (1+ε)√(∫f ∫g)，则存在a>0，b∈ℝ，使得∫|f(t) - a m(t+b)| dt ≤ c ⋅ ε^{1/3} |ln ε|^{4/3} ∫m(t) dt。
• 在[0, ∞)上的乘法形式中，存在类似稳定性界：若M(√(rs)) ≥ √(F(r)G(s))，则∫|F(t) - a M(b t)| dt ≤ c ⋅ ε^{1/3} |ln ε|^{4/3} ∫M(t) dt。
• 建立了Blaschke-Santaló不等式的稳定性：若体积积|K|·|K^z|在最大值κ_n²的(1+ε)范围内，则K到欧几里得球的Banach-Mazur距离为O(√ω(ε))，其中ω(ε) = ε^{1/3} |ln ε|^{4/3}。
• 对于高维偶函数，若Prékopa-Leindler条件以松弛度ε成立，则f与g之间的L¹距离被C_n ⋅ √ω(ε)有界，其中ω(ε) = ε^{1/3} |ln ε|^{4/3}。
• 在相同条件下，f与参考对数凹函数m之间的L¹距离也以O(√ω(ε))有界，g与m之间同理。
• 误差界依赖于ε^{1/3} |ln ε|^{4/3}，表明稳定性在对数校正下是紧的，且常数仅依赖于维数n。