[论文解读] Stability of steady states and bifurcation to traveling waves in a free boundary model of cell motility

Leonid Berlyand, Volodymyr Rybalko|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于收缩驱动的真核细胞运动的二维耦合Hele-Shaw/Keller-Segel自由边界模型，分析了径向稳态及其分岔为行波解的行为。通过不变性和守恒律建立了稳态的非线性稳定性，克服了由于平移和尺度不变性导致的零特征值所引起的线性稳定性分析失效问题。

ABSTRACT

We introduce a two-dimensional Keller-Segel type free boundary model for motility of eukaryotic cells on substrates. The key ingredients of this model are the Darcy law for overdamped motion of the cytoskeleton (active) gel and Hele-Shaw type boundary conditions (Young-Laplace equation for pressure and continuity of velocities). We first show that radially symmetric steady state solutions become unstable and bifurcate to traveling wave solutions. Next we establish linear and nonlinear stability of the steady states. We show that linear stability analysis is inconclusive for both steady states and traveling waves. Therefore we use invariance properties to prove nonlinear stability of steady states.

研究动机与目标

• 使用二维耦合Hele-Shaw/Keller-Segel系统与自由边界来建模收缩驱动的真核细胞运动。
• 分析径向对称稳态的稳定性及其分岔为行波解的行为。
• 克服由于连续对称性（平移与尺度）导致的零特征值所引起的线性稳定性分析局限性。
• 通过总肌球蛋白质量守恒作为Lyapunov型泛函，建立非线性稳定性。
• 将一维结果推广至二维，解决了域形状演化与非调和压力耦合于肌球蛋白密度所带来的挑战。

提出的方法

• 建立一个将细胞骨架凝胶运动的Darcy定律与Hele-Shaw型边界条件耦合的二维自由边界问题。
• 在自由边界处施加速度连续性条件，并使用Young-Laplace方程描述压力，与一维模型相区别。
• 通过非线性变量变换将移动域问题转化为固定域（圆盘），避免了因非调和压力而无法使用共形映射。
• 应用Hanzawa变换处理自由边界，实现在固定空间域中的分析。
• 对线性化问题使用平移分解除子，以控制平移不变性分量。
• 利用总肌球蛋白质量守恒作为Lyapunov泛函，证明稳态的非线性稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二维自由边界模型中的径向对称稳态会变得不稳定并分岔为行波解？
• RQ2 为何本模型中稳态与行波解的线性稳定性分析结果不明确？
• RQ3 当线性分析因零特征值而失效时，如何证明稳态的非线性稳定性？
• RQ4 总肌球蛋白质量守恒在证明非线性稳定性中起到何种作用？
• RQ5 由于与肌球蛋白密度耦合导致的非调和压力，与经典Hele-Shaw模型相比，分析过程受到何种影响？

主要发现

• 径向对称稳态失去稳定性并分岔为行波解，证实了持续运动模式的存在。
• 线性稳定性分析因对应于稳态平移与尺度不变性的两个零特征值而失效。
• 通过平移分解除子与总肌球蛋白质量守恒作为Lyapunov泛函的结合，证明了稳态的非线性稳定性。
• 解随时间表现出指数衰减，扰动范数衰减为 $ \| (m_{\varepsilon}, \rho_{\varepsilon}) \| \sim \varepsilon I_{0,\varepsilon} \log(1/\varepsilon) $，从而实现全局稳定性。
• 该模型退化为具有自由边界的Keller-Segel系统，将一维结果推广至二维，同时考虑了域形状演化与非调和压力。
• 通过使用Hanzawa变换与Sobolev空间中的精细估计，克服了非调和压力带来的分析挑战。