[论文解读] Stability of tangent bundle on the moduli space of stable bundles on a curve

Jaya Nn Iyer|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文证明了在光滑射影曲线 $C$ 上，对于秩 $r \geq 3$ 且固定行列式满足 $\gcd(r,d)=1$ 的稳定向量丛模空间 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$，其切丛在Mumford-Takemoto意义下是稳定的。证明利用了模空间之间的Hecke对应关系，并通过分析Grassmannian丛上截面的上同调消去性来排除不稳定子层，从而确认了关于Picard数为1的Fano流形上切丛稳定性的一个猜想。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the tangent bundle of the moduli space $\cSU_C(r,d)$ of stable bundles of rank $r>2$ and of fixed determinant of degree $d$ (such that $(r,d)=1$), on a smooth projective curve $C$ is always stable, in the sense of Mumford-Takemoto. This verifies a well-known conjecture, and is related to a conjectural existence of a Kähler-Einstein metric on Fano varieties with Picard number one.

研究动机与目标

• 证明当 $r \geq 3$ 且 $\gcd(r,d)=1$ 时，模空间 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ 上切丛的稳定性。
• 确认一个猜想：在Picard数为1的Fano流形上，切丛是稳定的。
• 建立切丛稳定性与Fano簇上Kähler-Einstein度量存在的联系。
• 将先前关于秩2模空间上切丛稳定性的结果推广至更高秩的模空间。

提出的方法

• 利用模空间 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,1)$ 与 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,1-h)$ 之间的Hecke对应关系（其中 $0 < h < r$），该对应关系被实现为一个Grassmannian丛。
• 通过对应空间上相对余切丛的直和结构，分析余切层及其不稳定子层的结构。
• 应用上同调技术，证明某些被幅线丛幂次扭的Hodge上同调群为零，特别是 $H^0(G, q^{\prime*}L^{\prime - b'}) = 0$ 对于 $b' > 0$ 成立。
• 利用Zariski平凡化与一般性单射性论证，分析包含 $\mathcal{K}$、$\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 的正合列中的核层与像层。
• 利用模空间的有理连通性蕴含 $H^0(M, \Omega^t_M) = 0$ 对于 $t > 0$ 的事实，排除非平凡全局截面的存在。
• 应用核层 $\mathcal{K}$ 的行列式条件 $\det(\mathcal{K}) = \mathcal{O}$，并导出关于线丛幂次指数的不等式组，最终得出 $a_1 = b_1 = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r \geq 3$ 且 $\gcd(r,d)=1$ 时，模空间 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ 上的切丛是否稳定？
• RQ2 Hecke对应关系是否能保持或传递模空间之间切丛的稳定性？
• RQ3 在Grassmannian丛上某些上同调群的消去性是否意味着不稳定子层不存在？
• RQ4 在假设存在不稳定子层的前提下，能否利用核层 $\mathcal{K}$ 的行列式导出矛盾？
• RQ5 模空间 $\mathcal{S}\mathcal{U}_C(r,d)$ 的有理连通性是否蕴含 $H^0(M, \Omega^t_M) = 0$ 对于 $t > 0$？

主要发现

• 当 $g(C) \geq 3$ 时，对于所有 $r \geq 3$ 且 $\gcd(r,d)=1$，模空间 ${\mathcal{S}\mathcal{U}}_C(r,d)$ 上的切丛是稳定的。
• Hecke对应关系保持了切丛的稳定性，使得可通过关于秩的归纳法将问题约化至已知情形。
• 通过 $q^{\prime*}L'$ 在纤维上的正性，证明了 $H^0(G, q^{\prime*}L^{\prime - b'}) = 0$ 对于 $b' > 0$ 成立，从而排除了正次数不稳定子层的存在。
• 核层 $\mathcal{K}$ 的行列式为平凡，即 $\det(\mathcal{K}) = \mathcal{O}$，由此导出关于线丛幂次指数的方程组，最终强制得出 $a_1 = b_1 = 0$。
• 由于模空间 $M$ 的有理连通性，$H^0(M, \Omega^t_M)$ 对于 $t > 0$ 的非零截面被排除，因此这些上同调群为零。
• 证明确认了余切丛中不存在不稳定子层，从而确立了切丛的稳定性。