[论文解读] Stability of the Bergman kernel on a tower of coverings

Bo-Yong Chen, Siqi Fu|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文在特定势条件之下，建立了双曲黎曼曲面和完备凯勒流形上覆盖塔的伯格曼核的稳定性，并证明了提升伯格曼核在局部一致收敛于其万有覆盖的伯格曼核。对于亏格 ≥2 的紧黎曼曲面，该论文提供了有效的估计，并将稳定性结果推广至有限体积且具有截断负曲率的多圆盘与球面商的商流形。

ABSTRACT

We obtain several results about stability of the Bergman kernel on a tower of coverings on complex manifolds. An effective version of Rhodes' result is given for a tower of coverings on a compact Riemann surface of genus greater than or equal to 2. Stability of the Bergman kernel is established for towers of coverings on hyperbolic Riemann surfaces and on complete Kaehler manifolds satisfying certain potential conditions. As a consequence, stability of the Bergman kernel is established for any tower of coverings of Riemann surfaces when the top manifold is simply-connected.

研究动机与目标

• 在特定势条件之下，建立双曲黎曼曲面与完备凯勒流形上覆盖塔的伯格曼核稳定性。
• 为亏格 ≥2 的紧黎曼曲面提供伯格曼核的有效定量估计，揭示其收敛性与紧致性半径的关系。
• 将稳定性结果推广至有限体积且具有截断负曲率的多圆盘与球面商的商流形。
• 将奥沙瓦的 $L^2$-估计方法推广至 $\bar{\partial}$-算子，以在几何与分析条件下建立稳定性。
• 解决关于覆盖塔中伯格曼核收敛性的长期开放问题，建立在卡赞扬与罗兹的奠基性工作之上。

提出的方法

• 利用 $L^2$-估计与复拉普拉斯算子控制覆盖流形上的伯格曼核。
• 应用涉及强次调和函数 $\psi$ 的势论条件，使得 $\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \partial\psi \wedge \bar{\partial}\psi$ 且 $\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \omega$。
• 通过截断函数与次调和函数构造基流形 $M$ 上的完备赫米特度量 $\omega$，以满足曲率条件。
• 通过提升操作，将万有覆盖 $\widetilde{M}$ 上的度量与核估计传递至商流形 $M_j = \widetilde{M}/\Gamma_j$。
• 利用 $\mathbb{H}^n$ 上伯格曼核在全纯自同构下的不变性及其在抛物端的行为，验证稳定性。
• 应用来自 $L^2$-上同调与 $\bar{\partial}$-理论的定理，特别是大泽与唐内利-费弗尔曼的结果，推导出一致收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亏格 ≥2 的紧黎曼曲面上的覆盖塔中，伯格曼核是否在局部一致收敛于其万有覆盖的伯格曼核？
• RQ2 在何种几何与分析条件下，伯格曼核在无限体积的完备凯勒流形上保持稳定？
• RQ3 能否为双曲黎曼曲面的伯格曼核导出以紧致性半径表示的有效估计？
• RQ4 在有限体积且具有截断负曲率的多圆盘与球面商的商流形上，伯格曼核稳定性是否保持？
• RQ5 对 $\bar{\partial}$-算子的 $L^2$-估计在覆盖收缩极限下，多大程度上能推出伯格曼核的稳定性？

主要发现

• 对于亏格 $g \geq 2$ 的紧黎曼曲面的覆盖塔，伯格曼核满足有效估计 $\left| |4\pi K_{M_j}|_{\rm hyp} - 1 \right| \leq \frac{12 \cdot 3^{2/3}}{\pi} (g-1)^{1/3} e^{-\tau_j/3}$，当 $\tau_j \geq \log 3$ 时成立，其中 $\tau_j$ 是 $M_j$ 的紧致性半径。
• 在任意双曲黎曼曲面的覆盖塔上，伯格曼核稳定性成立，且在万有覆盖上收敛为局部一致。
• 在满足势条件的完备凯勒流形上，伯格曼核稳定性成立：存在光滑严格强次调和函数 $\psi$，使得 $\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \partial\psi \wedge \bar{\partial}\psi$ 且 $\partial\bar{\partial}\psi \gtrsim \omega$。
• 命题 7.1 确认了希尔伯特模群作用下多圆盘 $\mathbb{D}^n$ 商流形上覆盖塔的伯格曼核稳定性。
• 命题 7.2 在使用布塞曼函数作为测试函数的前提下，建立了几何有限或有限体积且具有截断负截面曲率的球面商的稳定性。
• 本文确认，在所述几何与分析条件下，万有覆盖 $\widetilde{M}$ 上的伯格曼核是 $M_j$ 上伯格曼核的提升在极限下的极限。