[论文解读] Stability of the Gel'fand inverse boundary problem via the unique continuation

Dmitri Burago, Sergei Ivanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 51被引用 5

一句话总结

本论文为具有有界几何的流形上的Gel'fand逆边界问题建立了定量稳定性估计，表明通过小误差扰动的有限个Neumann特征值及其边界值，可以在Gromov-Hausdorff意义下重构出与原始流形接近的度量空间。该结果依赖于波动算子唯一延拓性质的新型稳定性估计。

ABSTRACT

In the Gel'fand inverse problem, one aims to determine the topology, differential structure and Riemannian metric of a compact manifold $M$ with boundary from the knowledge of the boundary $\partial M$, the Neumann eigenvalues $\lambda_j$ and the boundary values of the eigenfunctions $\varphi_j|_{\partial M}$. We show that this problem has a stable solution with quantitative stability estimates in a class of manifolds with bounded geometry. More precisely, we show that finitely many eigenvalues and the boundary values of corresponding eigenfunctions, known up to small errors, determine a metric space that is close to the manifold in the Gromov-Hausdorff sense. We provide an algorithm to construct this metric space. This result is based on an explicit estimate on the stability of the unique continuation for the wave operator. We hope our results may have applications, in particular, to medicine.

研究动机与目标

• 为具有边界的紧致黎曼流形建立Gel'fand逆边界问题的稳定解。
• 从存在噪声或近似边界数据中，推导出重构流形几何结构的定量稳定性估计。
• 证明有限个Neumann特征值及其对应的边界特征函数值可确定一个在Gromov-Hausdorff拓扑下接近原始流形的度量空间。
• 开发一种算法，用于从给定数据构造近似度量空间。
• 将几何分析中逆问题的适用范围扩展至具有有界几何及小测量误差的场景。

提出的方法

• 利用波动算子的唯一延拓性质，推导逆问题的稳定性估计。
• 应用唯一延拓的显式定量界，以控制逆重构过程中误差的传播。
• 以有限个Neumann特征值及其边界迹作为输入数据，假设存在小扰动。
• 利用给定数据构造度量空间的近似，确保其在Gromov-Hausdorff意义下收敛于真实流形。
• 依赖有界几何条件以控制曲率和内接半径，从而实现统一的稳定性估计。
• 构建算法框架，用于从测量得到的特征值和边界特征函数计算近似度量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅以小误差已知有限个特征值和边界特征函数时，Gel'fand逆边界问题能否稳定求解？
• RQ2 测量数据中的误差与重构度量空间到真实流形的Gromov-Hausdorff距离之间，其定量关系为何？
• RQ3 波动算子的唯一延拓性质如何影响逆问题的稳定性？
• RQ4 在有界几何条件下，从边界谱数据在多大程度上可恢复流形的拓扑、微分结构及黎曼度量？
• RQ5 能否构建一种算法，从含噪声的边界谱数据中显式构造出接近原始流形的度量空间？

主要发现

• 在具有有界几何的流形类中，Gel'fand逆边界问题具有稳定解，且提供了定量稳定性估计。
• 有限个Neumann特征值及其边界值，即使受到小误差污染，也足以在Gromov-Hausdorff意义下重构出与原始流形接近的度量空间。
• 稳定性估计源自对波动算子唯一延拓性质的新型定量界。
• 已构建算法，可从给定谱数据显式构造近似度量空间。
• 结果对输入数据的小扰动具有鲁棒性，确保在涉及测量噪声的应用中具有实际意义。
• 该框架可能支持医学成像中的应用，尤其适用于从边界测量重构内部结构。