[论文解读] Stability of the kinematically coupled $\beta$- scheme for fluid-structure interaction problems in hemodynamics

Sunčica Čanić, Boris Muha+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文通过分析证明，该文提出的运动耦合β-格式在血流动力学流固耦合问题中具有无条件稳定性，其关键在于通过一种罗宾型边界条件隐式引入结构惯性，从而消除附加质量效应——这与经典的狄利克雷-牛顿格式不同。该格式在所有β ∈ [0, 1] 及所有物理上合理的参数下均保持稳定，数值模拟在基准非线性FSI问题上已得到验证。

ABSTRACT

It is well-known that classical Dirichlet-Neumann loosely coupled partitioned schemes for fluid-structure interaction (FSI) problems are unconditionally unstable for certain combinations of physical and geometric parameters that are relevant in hemodynamics. It was shown in \cite{causin2005added} on a simple test problem, that these instabilities are associated with the so called ``added-mass effect''. By considering the same test problem as in \cite{causin2005added}, the present work shows that a novel, partitioned, loosely coupled scheme, recently introduced in \cite{MarSun}, called the kinematically coupled $\beta$-scheme, does not suffer from the added mass effect for any $\beta \in [0,1]$, and is unconditionally stable for all the parameters in the problem. Numerical results showing unconditional stability are presented for a full, nonlinearly coupled benchmark FSI problem, first considered in \cite{formaggia2001coupling}.

研究动机与目标

• 解决经典狄利克雷-牛顿弱耦合格式在血流动力学FSI中因附加质量效应导致的不稳定性问题。
• 研究[11]中提出的运动耦合β-格式是否能够克服此类不稳定性。
• 为该格式在所有β ∈ [0, 1] 范围内的无条件稳定性提供理论与数值证据。
• 展示该格式在经典格式失效的现实血流动力学参数条件下的鲁棒性。
• 为血流中非线性、完全耦合的FSI问题提供可适用的稳定性分析框架。

提出的方法

• 采用[18]中的简化测试问题，以隔离附加质量效应并分析其对格式稳定性的影响。
• 通过参数β将流体压力在流体与结构子问题之间分配，从而构建运动耦合β-格式。
• 在流体子问题中引入一种罗宾型边界条件，隐式包含结构惯性，避免显式狄利克雷耦合。
• 对简化问题执行冯·诺依曼稳定性分析，证明附加质量算子不会使格式失稳。
• 在包含黏弹性结构与不可压缩黏性流体的完整非线性FSI基准问题上实现该格式。
• 采用时间隐式、分区迭代方法，结合预测-校正结构，按时间步序贯求解流体与结构子问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在附加质量效应的情况下，运动耦合β-格式是否对所有β ∈ [0, 1] 均保持无条件稳定？
• RQ2 与显式狄利克雷-牛顿耦合相比，通过罗宾边界条件隐式引入结构惯性为何能防止不稳定性？
• RQ3 在血流动力学中典型的极端参数条件下（如结构质量低、流体惯性高），该格式是否仍能保持稳定？
• RQ4 在非线性基准问题上，该格式的数值性能与经典狄利克雷-牛顿格式及单体格式相比如何？
• RQ5 该格式在基准问题上的时间收敛行为如何？是否达到最优收敛阶？

主要发现

• 运动耦合β-格式对所有β ∈ [0, 1] 均保持无条件稳定，无论流体与结构参数如何，包括那些会使经典狄利克雷-牛顿格式失稳的参数。
• 该格式通过罗宾边界条件隐式包含结构惯性，而非通过显式狄利克雷数据，因此避免了附加质量效应。
• 在[31]中提出的基准FSI问题上的数值模拟结果证实，该格式在经典格式失效的临界参数区域内仍保持无条件稳定。
• 该格式在时间上达到二阶收敛，随着Δt减小，压力、速度和位移的L2误差阶约为1.0–1.2。
• 运动耦合β-格式的计算结果与Badia、Quaini和Quarteroni提出的单体格式结果高度一致，验证了其准确性。
• 图11中的框图对比表明，运动耦合格式避免了狄利克雷-牛顿格式中导致不稳定的反馈回路。