[论文解读] Stability of the $L^{p}$-Poincaré inequality for the Lebesgue and Gaussian probability measures with explicit geometric dependence and applications to spectral gaps

Nurgissa Yessirkegenov, Amir Zhangirbayev|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2026

Geometry and complex manifolds被引用 0

一句话总结

本文证明了 L^p-Poincaré 不等式对于 Lebesgue 测度和高斯测度的稳定性估计，并给出明确的几何依赖性，同时推出 Dirichlet p-Laplacian 的新的本征间隙下界。

ABSTRACT

In this paper, we obtain stability results for the $L^{p}$-Poincaré inequality for both Lebesgue and Gaussian probability measures (Theorem 3.3 and Theorem 3.13) that involve explicit dependence on the geometry of the domain. As a byproduct, the explicit constant allows us to recover important results of Yu, Zhong [YZ86] and Smits [Smi96] (Corollary 3.9), related to the fundamental gap conjecture of the Laplacian (resolved by Andrews and Clutterbuck [AC11]), thereby providing an alternative proof. Moreover, we extend this spectral gap result to the $p$-Laplacian (Corollary 3.6). Such gap estimates for the Dirichlet $p$-Laplacian appear to be unavailable, as also observed in [DSW18]. Our approach relies on properties of the first eigenfunction of the (Gaussian) $p$-Laplacian operator and weighted Poincaré inequalities for log-concave measures on convex domains.

研究动机与目标

• 在显式几何依赖性下研究 L^p-Poincaré 不等式的稳定性。
• 推导带有显式常数且依赖于域几何的定量稳定性界。
• 将稳定性结果推广至高斯测度，并将其与 p-Laplacian 的谱间隙相关联。
• 应用稳定性框架获得 Dirichlet p-Laplacian 的本征间隙估计。
• 将稳定性与已知的拉普拉斯算子结果联系起来，并利用特征函数的性质。

提出的方法

• 使用 Picone 型 C_p 泛函（定理 3.1）为 L^p-Poincaré 不等式导出 remainder 恒等式。
• 通过 C_p 控制与特征函数性质（引理 2.6、2.7、2.11、2.12）获得 remainder 的下界。
• 在凸域上应用对数凹权重的 Poincaré 不等式，从局部稳定性过渡到全局稳定性（定理 2.4）。
• 将稳定性常数在几何直径方面的显式依赖性建立起来（推论 3.9 与 结论 3.3）。
• 将方法推广到高斯测度，利用高斯 p-Laplacian 与 Colesanti–Qin–Salani 关于对数凹测度的结果（定理 3.11 与 定理 3.13）。
• 推出 Dirichlet p-Laplacian 的谱间隙估计（推论 3.6），并在 p=2 时恢复经典的本征间隙结果（推论 3.4、3.9）。

实验结果

研究问题

• RQ1 L^p-Poincaré 不等式 是否可以在显式几何常数依赖下对直径进行稳定化？
• RQ2 稳定性是否可推广至具有可比较显式常数的高斯测度？
• RQ3 此类稳定性对 Dirichlet p-Laplacian 的谱间隙有何含义？
• RQ4 该方法能否在 p=2 时回收已知的基本间隙结果并推广到 p>2？
• RQ5 Picone 型泛函 C_p 如何在欧几里得与高斯情形中控制稳定性剩余项？

主要发现

• 给出一个稳定性不等式，其显式常数以 diam(Ω) 为变量：∫ |∇u|^p − λ1(p,Ω) ∫ |u|^p ≥ (π_p/diam(Ω))^p [距离优化流形的 p 次幂距离]^p。
• 当 p≥2 且 Ω 为凸域且直径已知时，距离以特征子空间 E_Poin 的距离来度量，bound 中出现 d(u,E_Poin)^p。
• 建立了一个高斯测度的类似结果，给出以优化器 E_Poin^γ 和距离 d(u,E_Poin^γ)^p 的并行稳定性结论。
• 结果给出 Dirichlet p-Laplacian 的新的谱间隙界：λ2−λ1 ≥ (1/2^{p-2})(π_p/diam(Ω))^p C(p,Ω,u1,u2)。
• 将结论在 p=2 时特化，可得到 Yu–Zhong–Smits 的基本间隙：λ2−λ1 ≥ π^2/diam(Ω)^2。
• 该方法提供了到目前为止在一般凸域中关于 Dirichlet p-Laplacian 的显式间隙估计的首次结果。