[论文解读] Stability of the Spectral Gap for Lattice Fermions

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文为在弱短程相互作用下，通用晶格费米子在费米海基态上方的能隙稳定性提供了完整证明。通过改进哈斯廷斯的方法，利用马约拉纳费米子变换，作者将无扰动哈密顿量映射为无阻挫形式，从而实现对微扰的相对界，确保在热力学极限下能隙保持打开，即使在不具有平移不变性的情况下亦成立。

ABSTRACT

It is widely believed that the spectral gap above the Fermi sea ground state of lattice free fermions is stable against generic weak interactions. Quite recently, Hastings presented a new interesting idea to prove the stability for Majorana free fermions. He ingeniously used Majorana fermions so that the unperturbed Hamiltonian of the free fermion part is mapped into a frustration-free form. In this paper, we refine Hastings's argument, and give a complete proof of the stability of the spectral gap above the Fermi sea ground state against generic weak interactions for generic lattice free fermions.

研究动机与目标

• 建立在弱相互作用下，通用晶格费米子在费米海基态上方的能隙稳定性。
• 通过提供无需假设平移不变性的严格证明，扩展并完成哈斯廷斯近期的论证。
• 证明对于短程、偶宇称相互作用，能隙在热力学极限下仍保持打开。
• 开发一种利用马约拉纳费米子映射的框架，以实现无扰动哈密顿量的无阻挫表示。
• 推导微扰的相对界，以确保在弱相互作用下能隙不会闭合。

提出的方法

• 将原始费米子系统转换为马约拉纳费米子表示，以将无扰动哈密顿量映射为无阻挫形式。
• 对完整哈密顿量应用幺正变换，使得所有局域相互作用湮灭无扰动基态。
• 利用李布-罗宾逊界和空间衰减估计，控制系统中微扰的传播。
• 利用相互作用矩阵元的指数衰减和能隙估计，建立微扰的相对界。
• 利用附录 A–I 中的技术估计，控制关联函数的衰减和微扰级数的收敛性。
• 引入截断参数 $ K_h > 1 $，以在相互作用范围无界时抑制多体相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在晶格费米子系统中，费米海上方的能隙在一般弱相互作用下是否保持打开？
• RQ2 能否在不假设平移不变性的前提下，严格证明能隙的稳定性？
• RQ3 哈斯廷斯的马约拉纳费米子方法是否足以推广至所有具有能隙的晶格费米子系统？
• RQ4 短程、偶宇称相互作用如何影响费米海基态的稳定性？
• RQ5 在热力学极限下，何种条件可确保微扰不会使能隙闭合？

主要发现

• 在弱短程相互作用下，通用晶格费米子在费米海上方的能隙保持打开，即使在不具有平移不变性的情况下亦成立。
• 该证明建立了微扰的相对界，确保能隙不会闭合，且该界依赖于相互作用矩阵元的指数衰减。
• 马约拉纳费米子变换使得无扰动哈密顿量可表示为无阻挫形式，从而简化了基态分析。
• 相互作用项被证明随距离呈指数衰减，满足条件 $ \sum_{X\ni x,y} \|V_X\| \leq C_V e^{-m_V \text{dist}(x,y)} $。
• 使用截断 $ K_h > 1 $ 确保即使存在多体相互作用，微扰展开仍能收敛。
• 扰动动力学与无扰动动力学之间偏差的最终界随距离呈次指数衰减，证实了能隙的稳定性。