[论文解读] Stability-Preserving, Adaptive Model Order Reduction of DAEs by Krylov-Subspace Methods

Alessandro Castagnotto, Heiko K. F. Panzer+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出两种基于Krylov子空间的模型降阶（MOR）技术，用于索引为1的微分代数方程（DAE），可保持稳定性与结构特性。这些方法实现自适应、稳定性保持的MOR，无需显式转换为常微分方程（ODE），其中一种方法确保严格耗散性，另一种方法实现H₂-伪最优降阶并支持自适应参数选择。

ABSTRACT

Systems of differential-algebraic equations (DAEs) represent a widespread formalism in the modeling of constrained mechanical systems and electrical networks. Due to the automatic, object-oriented generation of the equations of motion and the resulting redundancies in the descriptor variables, DAE systems often reach a very high order. This motivates the use of model order reduction (MOR) techniques that capture the relevant input-output dynamics in a reduced model of much smaller order, while satisfying the constraints and preserving fundamental properties. Due to their particular structure, new MOR techniques designed to work directly on the DAE are required that reduce the dynamical part while preserving the algebraic. In this contribution, we exploit the specific structure of index-1 systems in semi-explicit form and present two different methods for stability-preserving MOR of DAEs. The first technique preserves strictly dissipativity of the underlying dynamics, the second takes advantage of H2-pseudo-optimal reduction and further allows for an adaptive selection of reduction parameters such as reduced order and Krylov shifts.

研究动机与目标

• 解决微分代数方程（DAE）缺乏稳定性保持的模型降阶（MOR）技术的问题，特别是在高阶系统中。
• 开发能够保持索引为1的DAE的代数约束与固有稳定性特性的MOR方法，而无需显式求解其底层ODE。
• 实现MOR中降阶阶数与Krylov移位参数的自适应选择，以提高精度与效率。
• 在保持原始DAE结构特性的前提下，确保降阶模型具有严格耗散性与H₂最优性。
• 为机械与电气系统中出现的大规模DAE提供MOR框架，同时不牺牲数值稳定性或约束满足性。

提出的方法

• 利用Petrov-Galerkin投影与Krylov子空间方法，直接从半显式索引为1的DAE系统构造降阶模型（ROM）。
• 在确保降阶系统保持描述符结构与代数约束的条件下，采用正交投影（V = W）。
• 设计第一种方法，通过保持A + A^T的负定性，确保降阶系统的严格耗散性。
• 实现第二种方法，基于H₂-伪最优矩匹配，通过残差最小化实现降阶阶数与Krylov移位的自适应选择。
• 利用Schur补技术分析并保持降阶系统的稳定性特性，通过确保降阶动力子系统中A₁ + A₁^T ≺ 0来实现。
• 通过由Krylov子空间张成的投影矩阵V与W构造降阶系统，该子空间由(sE - A)^{-1}B张成，实现在选定移位参数处的矩匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Krylov子空间的DAE MOR能否在不转换为ODE的情况下保持原系统的稳定性？
• RQ2 在不显式掌握底层ODE的前提下，如何在DAE的降阶模型中保持严格耗散性？
• RQ3 H₂-伪最优降阶能否适配于DAE，以实现降阶阶数与Krylov移位的自适应选择？
• RQ4 Petrov-Galerkin投影在何种条件下可保持降阶模型中的代数约束与索引-1结构？
• RQ5 与标准Krylov基MOR应用于无稳定性保证的ODE或DAE相比，所提方法在精度与稳定性方面表现如何？

主要发现

• 第一种方法表明，若原始DAE为严格耗散性（A + A^T ≺ 0），则降阶系统同样满足A_r + A_r^T ≺ 0，从而保持稳定性。
• 第二种方法通过在选定移位参数处匹配矩，实现H₂-伪最优性，支持降阶阶数与Krylov移位的自适应调节。
• 数值实验表明，两种方法均能保持代数约束，并在标准矩匹配技术失效时仍维持稳定性。
• Schur补分析确认，降阶动力子系统的稳定性取决于Schur补A₁的可逆性与定性。
• 所提技术避免了计算底层ODE的需要，实现了对DAE的直接MOR，同时保持了结构特性与稳定性。
• 传输线SE-DAE案例研究证实，无论系统规模与降阶程度如何变化，该方法均能保持精度与稳定性。