[论文解读] Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data and applications

Marie‐Françoise Bidaut‐Véron, Hùng Nguyễn Quốc|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文建立了带测度数据的拟线性抛物方程解的稳定性定理，将先前的椭圆结果推广至抛物情形。在测度和非线性项满足容量条件的前提下，证明了解的存在性与稳定性，包括幂次型和指数型源项，采用重正化解与非线性潜力理论。

ABSTRACT

Let $\\Omega$ be a bounded domain of $\\mathbb{R}^{N}$, and $Q=\\Omega \ imes(0,T).$ We first study the problem \\[ \\left\\{ \\begin{array} [c]{l}% {u_{t}}-{\\Delta_{p}}u=\\mu\\qquad\ ext{in }Q,\\\\ {u}=0\\qquad\ ext{on }\\partial\\Omega\ imes(0,T),\\\\ u(0)=u_{0}\\qquad\ ext{in }\\Omega, \\end{array} \ ight. \\] where $p>1$, $\\mu\\in\\mathcal{M}_{b}(\\Omega)$ and $u_{0}\\in L^{1}(\\Omega).$ Our main result is a \ extit{stability theorem }extending the results of Dal Maso, Murat, Orsina, Prignet, for the elliptic case\ extit{. } As an application, we consider the perturbed problem\ extit{ } \\[ \\left\\{ \\begin{array} [c]{l}% {u_{t}}-{\\Delta_{p}}u+\\mathcal{G}(u)=\\mu\\qquad\ ext{in }Q,\\\\ {u}=0\\qquad\ ext{on }\\partial\\Omega\ imes(0,T),\\\\ u(0)=u_{0}\\qquad\ ext{in }\\Omega, \\end{array} \ ight. \\] where $\\mathcal{G}(u)$ may be an absorption or a source term$.$ In the model case $\\mathcal{G}(u)=\\pm\\left\\vert u\ ight\\vert ^{q-1}u$ $(q>p-1),$ or $\\mathcal{G}$ has an exponential type. We give existence results when $q$ is subcritical, or when the measure $\\mu$ is good in time and satisfies suitable capacity conditions.

研究动机与目标

• 将拟线性方程带测度数据的稳定性结果从椭圆情形推广至抛物情形。
• 为带非线性低阶项（如 |u|^{q-1}u 或指数型源项）的抛物问题建立重正化解的存在性。
• 刻画当测度 μ 为奇异或可积性较低时解存在的条件。
• 建立基于容量的框架，以处理抛物方程中的奇异测度。
• 分析非线性潜力与容量条件在确保解的稳定性和存在性中的作用。

提出的方法

• 利用带测度数据的抛物方程重正化解理论，扩展椭圆理论中的方法。
• 通过抛物容量 $ c_p^Q $ 应用非线性潜力理论，刻画允许测度的类。
• 采用迭代逼近格式，其中 R-解 $ u_m $ 满足：每个 $ u_{m+1} $ 解决含非线性项 $ \mathcal{E}(\tau u_m^\beta) $ 的问题。
• 依赖 Steklov 平均与时间正则化测试函数，以处理弱形式中的时间导数。
• 使用极大函数 $ \mathbf{W}_{1,p}^{2\text{diam}\Omega} $ 控制解的增长并确保可积性。
• 应用比较原理与涉及 Wolff 潜力的估计，推导序列 $ \{u_m\} $ 的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带测度数据的抛物拟线性方程存在稳定解？
• RQ2 非线性低阶项（如 $ |u|^{q-1}u $ 或指数型源项）如何影响解的存在性与稳定性？
• RQ3 抛物容量 $ c_p^Q $ 在刻画解存在性所允许的测度类中起何作用？
• RQ4 椭圆方程的稳定性结果能否推广至带测度数据的抛物情形？
• RQ5 确保迭代逼近收敛至解的关键指数或测度条件是什么？

主要发现

• 为带测度数据的抛物拟线性方程建立了稳定性定理，推广了椭圆情形的结果。
• 当 $ q $ 为次临界时，在适当的容量条件下，证明了 $ \mathcal{G}(u) = \pm |u|^{q-1}u $ 问题的重正化解的存在性。
• 对于指数型非线性项，若测度 $ \mu $ 满足涉及 Wolff 潜力的容量条件，则存在性成立。
• 若满足 $ \| \mathbf{M}_{p,2\text{diam}\Omega}^{\frac{(p-1)(\beta-1)}{\beta}}[\mu] \|_{\infty,\mathbb{R}^N} \leq M_0 $ 且 $ b \leq b_0 $，则迭代格式 $ u_{m+1} $ 解决 $ (u_{m+1})_t - \text{div}(A(x,\nabla u_{m+1})) = \mathcal{E}(\tau u_m^\beta) + \mu $ 几乎处处在 $ Q $ 上收敛至解 $ u $。
• 解 $ u $ 满足估计式 $ u \leq K c_p \mathbf{W}_{1,p}^{2\text{diam}\Omega}[\mu] + 2b_0 $，其中 $ c_p = 2\max(1, 2^{\frac{2-p}{p-1}}) $，确保了可积性与稳定性。