[论文解读] Stability theory for difference approximations of some dispersive shallow water equations and application to thin film flows

Pascal Noble, Jean‐Paul Vila|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文为欧拉-科特定律方程（Euler-Korteweg equations）——一种用于建模毛细流体和薄膜流的等熵欧拉方程的色散扩展——开发并分析了稳定、熵守恒及熵稳定的有限差分格式。通过将该系统重新表述为哈密顿PDE，并引入密度梯度的扩展变量，作者推导出一种半守恒格式，该格式保持了哈密顿结构，并在满足CFL条件时实现了熵稳定，数值验证在滚波实验中取得了与物理观测良好一致的结果。

ABSTRACT

In this paper, we study the stability of various difference approximations of the Euler-Korteweg equations. This system of evolution PDEs is a classical isentropic Euler system perturbed by a dispersive (third order) term. The Euler equations are discretized with a classical scheme (e.g. Roe, Rusanov or Lax-Friedrichs scheme) whereas the dispersive term is discretized with centered finite differences. We first prove that a certain amount of numerical viscosity is needed for a difference scheme to be stable in the Von Neumann sense. Then we consider the entropy stability of difference approximations. For that purpose, we introduce an additional unknown, the gradient of a function of the density. The Euler-Korteweg system is transformed into a hyperbolic system perturbed by a second order skew symmetric term. We prove entropy stability of Lax-Friedrichs type schemes under a suitable Courant-Friedrichs-Levy condition. We validate our approach numerically on a simple case and then carry out numerical simulations of a shallow water system with surface tension which models thin films down an incline. In addition, we propose a spatial discretization of the Euler-Korteweg system seen as a Hamiltonian system of evolution PDEs. This spatial discretization preserves the Hamiltonian structure and thus is naturally entropy conservative. This scheme makes possible the numerical simulation of the dispersive shock waves of the Euler Korteweg system.

研究动机与目标

• 为欧拉-科特定律系统（Euler-Korteweg system）开发稳定且熵稳定的有限差分近似格式，该系统是等熵欧拉方程的一种色散扰动。
• 分析在欧拉-科特定律系统差分格式中，满足冯·诺依曼稳定性所需的数值耗散量。
• 通过将系统重新表述为带有密度梯度扩展变量的哈密顿PDE，构建半守恒的熵守恒格式。
• 在浅水模型的薄膜流中对所提格式进行数值验证，特别模拟刘和戈洛布实验中观察到的滚波形成过程。
• 识别在边界条件处理以及向二维和其它混合双曲-色散系统扩展方面存在的开放挑战。

提出的方法

• 对欧拉-科特定律系统的对流部分采用经典格式（Roe、Rusanov、Lax-Friedrichs）进行离散，同时对三阶色散项使用中心差分。
• 引入一个辅助变量以表示密度函数梯度，将系统转化为带有二阶反对称扰动的双曲系统。
• 在扩展形式下，证明Lax-Friedrichs型格式在适当CFL条件下的熵稳定性。
• 构建保持欧拉-科特定律系统哈密顿结构的半守恒空间离散化，确保熵守恒。
• 采用后向欧拉时间积分以维持熵稳定性，尽管其不保持哈密顿结构。
• 通过在出口采用自由边界条件和在入口施加正弦强迫，实现数值模拟，以重现刘和戈洛布实验中的滚波动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉-科特定律系统差分格式的冯·诺依曼稳定性需要多大程度的数值耗散？
• RQ2 能否通过带有扩展变量的双曲重构，为欧拉-科特定律系统构造熵稳定格式？
• RQ3 与标准离散化相比，保持哈密顿结构的半守恒格式在色散浅水流模拟中的稳定性与精度如何？
• RQ4 所提格式能否准确模拟薄膜流中如刘和戈洛布实验所观察到的滚波形成过程？
• RQ5 在有限区间上，欧拉-科特定律系统如何定义适定的边界条件存在哪些挑战？

主要发现

• 即使对色散项采用中心差分，欧拉-科特定律系统差分近似中仍需一定量的数值耗散才能实现冯·诺依曼稳定性。
• 在扩展形式下，Lax-Friedrichs型格式在适当CFL条件下可实现熵稳定。
• 当采用显式前向欧拉时间积分时，Roe和Godunov格式被发现不稳定，凸显了格式选择的重要性。
• 保持哈密顿结构的半守恒格式表现出更优的稳定性特性，特别适用于模拟纯粹色散现象（如色散冲击波）。
• 对刘和戈洛布实验的数值模拟（Re = 29，θ = 6.4°）与实验观测结果良好一致，包括稳定滚波轮廓的形成。
• 边界条件的选择仍是开放问题，因作者缺乏有限域上欧拉-科特定律系统的适定性理论，故采用任意边界条件。