[论文解读] Stabilizability and Norm-Optimal Control Design subject to Sparsity Constraints

Şerban Sabău, Nuno C. Martins|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文通过将问题重新表述为带有稳定性约束的精确模型匹配问题，建立了存在稳定且稀疏约束的线性时不变（LTI）控制器的必要与充分条件。它提出了一种无需初始稳定稳定化控制器的凸Youla类参数化方法，使得在稀疏性约束下通过凸优化实现范数最优控制设计成为可能——解决了先前工作中的一项关键空白。

ABSTRACT

Consider that a linear time-invariant (LTI) plant is given and that we wish to design a stabilizing controller for it. Admissible controllers are LTI and must comply with a pre-selected sparsity pattern. The sparsity pattern is assumed to be quadratically invariant (QI) with respect to the plant, which, from prior results, guarantees that there is a convex parametrization of all admissible stabilizing controllers provided that an initial admissible stable stabilizing controller is provided. This paper addresses the previously unsolved problem of determining necessary and sufficient conditions for the existence of an admissible stabilizing controller. The main idea is to cast the existence of such a controller as the feasibility of an exact model-matching problem with stability restrictions, which can be tackled using existing methods. Furthermore, we show that, when it exists, the solution of the model-matching problem can be used to compute an admissible stabilizing controller. This method also leads to a convex parametrization that may be viewed as an extension of Youla's classical approach so as to incorporate sparsity constraints. Applications of this parametrization on the design of norm-optimal controllers via convex methods are also explored. An illustrative example is provided, and a special case is discussed for which the exact model matching problem has a unique and easily computable solution.

研究动机与目标

• 解决在给定二次不变稀疏约束下，是否存在稳定LTI控制器这一开放问题。
• 当此类控制器存在时，开发一种无需预先知晓稳定稳定化控制器知识的计算方法。
• 通过凸框架将经典Youla参数化扩展以纳入稀疏性约束。
• 利用凸优化技术，在稀疏性约束下实现范数最优控制器设计。
• 通过一种新颖的凸参数化，完整表征所有可接受的稳定化控制器，即使对于非强可稳定化系统也适用。

提出的方法

• 将稀疏性约束下的稳定化控制器存在性表述为带有稳定性约束的精确模型匹配问题的可行性。
• 利用带有额外因子约束的被控对象双重互质分解（DCFs），以编码稀疏性和稳定性要求。
• 将问题转化为传递函数域上的齐次线性方程组，以在类似Youla的框架中参数化Q参数。
• 通过DCF因子的状态空间实现构造稳定化控制器，利用谱分配确保变换矩阵的幺模性与稳定性。
• 利用现有精确模型匹配带稳定性约束的算法计算控制器，并验证其稀疏性与稳定化特性。
• 通过在Q参数上施加线性约束，推导出所有稳定化稀疏性约束控制器的凸参数化，即使不存在稳定初始控制器时也有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定二次不变稀疏约束下，稳定LTI控制器存在的必要与充分条件是什么？
• RQ2 是否可以在不依赖初始稳定稳定化控制器的前提下计算出稳定稀疏性约束控制器？
• RQ3 当初始控制器未知或不稳定时，如何构建所有此类稳定化控制器的凸参数化？
• RQ4 所提出的框架能否通过凸优化实现稀疏性约束下的范数最优控制器设计？
• RQ5 具有约束因子的双重互质分解的存在性与在稀疏性约束下被控对象的可稳定化性之间有何关系？

主要发现

• 稳定稀疏性约束控制器的存在性等价于带有稳定性约束的精确模型匹配问题的可行性。
• 可通过DCF因子的状态空间实现计算稳定化控制器，变换矩阵的幺模性确保了因子分解的有效性。
• 所提出的类似Youla的参数化是凸的，且无需初始稳定稳定化控制器，因此即使对非强可稳定化系统也适用。
• 该方法通过在受约束的Q参数空间上建立凸规划，实现了在稀疏性约束下的范数最优控制器设计。
• 在一种特殊情况下，精确模型匹配问题具有唯一且易于计算的解，从而简化了控制器综合。
• 通过数值示例验证了该框架，展示了稳定稀疏控制器的构造及其凸参数化的推导。