[论文解读] Stabilization of Integral Difference Equations by solving a Corona problem

Adam Braun, Jean Auriol+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2026

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 0

一句话总结

提出一种针对带标量输入的向量值 IDE 的显式状态反馈控制器，通过求解与 Corona 问题相关联的卷积方程，在可控性条件下实现指数稳定。

ABSTRACT

This paper proposes a stabilizing state-feedback control law for vector-valued state systems with a scalar control input, governed by a general class of integral difference equations that incorporate both pointwise and distributed input delays. The proposed controller is expressed through integral operators acting on the state and input histories over a finite time horizon. Closed-loop stability is established by characterizing the controller kernels as solutions to a convolution equation arising from a Corona problem. The existence of such solutions is ensured under a suitable spectral stabilizability condition, and a least-square procedure is implemented to find them numerically. The approach extends existing IDE stabilization results to more general settings, allowing for arbitrary numbers of pointwise delays affecting both the state and input, without requiring commensurability assumptions.

研究动机与目标

• 将 IDE 稳定化推广到具有多重时延的向量值状态。
• 在存在分布时延的情况下放宽可控性条件至稳定性条件。
• 通过 Corona 问题与卷积方程来表述控制器设计。
• 提供最小二乘数值程序以计算控制核。
• 证明在鲁棒性与可适用性方面超越同质时延设置的限制。

提出的方法

• 将 IDE 转换为拉普拉斯域的代数形式，以确定连接状态和输入历史的卷积方程。
• 构造一个带待定核的动态自回归控制律。
• 在 Hardy 空间中表述 Corona 问题，以在公差内找到逼近目标函数的控制核。
• 证明在谱稳定性条件下，Corona 问题的解能产生指数稳定。
• 提供基于离散化度量的最小二乘数值方案以计算核。
• 证明该方法将稳定化结果扩展到具有多时延的向量值设定中且不需要同质性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可控性条件放宽为稳定性条件的情况下，是否能够在多点和分布时延的向量值 IDE 中实现指数稳定？
• RQ2 如何将控制核刻画为由 Corona 问题产生的卷积方程的解？
• RQ3 哪些谱条件确保存在稳定化核，且如何数值计算？
• RQ4 所得控制器是否能普遍推广到非同质时延和单输入标量以外的情形？

主要发现

• 存在紧支撑的 L2 卷积核 g 与 f，在假设 1 和 2 下可使闭环 IDE 指数稳定。
• 通过求解等价于 Hardy 空间中 Corona 问题的卷积方程实现稳定性。
• 基于 Corona 的表述提供了一个满射映射，使控制核的最小二乘计算成为可能。
• 该方法可容纳具有任意数量时延的向量值状态，且不要求同质性。
• 基于对 Corona 方程的离散化最小二乘法数值程序在仿真中实现了快速收敛的增益。