[论文解读] Stabilization of periodic sweeping processes and asymptotic average velocity for soft locomotors with dry friction

Giovanni Colombo, Paolo Gidoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2021

Micro and Nano Robotics参考文献 27被引用 9

一句话总结

该论文建立了具有平动移动面的多面体集扫掠过程到周期解的W¹,²收敛性，为具有干摩擦的软体爬行器模型中渐近平均速度定义的适定性提供了严格证明。作者通过证明解在Sobolev空间W¹,²中收敛到唯一的运行周期轨迹，强化了先前的稳定性结果，确保了与步态相关的渐近速度独立于初始条件而存在。

ABSTRACT

We study the asymptotic stability of periodic solutions for sweeping processes defined by a polyhedron with translationally moving faces. Previous results are improved by obtaining a stronger $W^{1,2}$ convergence. Then we present an application to a model of crawling locomotion. Our stronger convergence allows us to prove the stabilization of the system to a running-periodic (or derivo-periodic, or relative-periodic) solution and the well-posedness of an average asymptotic velocity depending only on the gait adopted by the crawler. Finally, we discuss some examples of finite-time versus asymptotic-only convergence.

研究动机与目标

• 为具有移动多面体集的扫掠过程中的周期解建立强于以往工作的收敛性。
• 证明在周期驱动下，软体运动器的渐近平均速度的存在性与唯一性。
• 分析解收敛到周期行为是否在有限时间内发生，还是仅渐近发生。
• 为仿生爬行机器人中的步态优化提供数学基础。

提出的方法

• 将软体爬行器的动力学重新表述为涉及时变多面体K(t)法锥的微分包含。
• 应用广义Moreau扫掠过程框架，分析形状变量w(t)与质心y(t)的演化。
• 证明形状变量w(t)在W¹,²范数下收敛到周期函数，扩展了先前的L∞收敛结果。
• 利用Poincaré映射及凸移动集的性质分析长期行为与周期性。
• 构造反例以证明在一般情况下，有限时间收敛并非必然成立，即使对于简单几何结构亦然。
• 在周期驱动下分析系统的渐近行为，推导出与步态相关的渐近速度v₀(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有移动面的多面体集扫掠过程的解是否在W¹,²意义下收敛到周期解，而不仅仅是L∞意义下？
• RQ2 具有干摩擦的软体爬行器的渐近平均速度是否可以唯一定义且与初始条件无关？
• RQ3 在何种条件下收敛到周期行为在有限时间内发生，何时仅为渐近收敛？
• RQ4 移动集K(t)的结构——特别是其几何形状与运动方式——如何影响系统的收敛性质？

主要发现

• 本文建立了具有平动移动面的多面体集扫掠过程的解向周期解的W¹,²收敛性。
• 所有扫掠过程的周期解具有相同的导数，确保了渐近速度的一致性。
• 渐近平均速度v₀(G)定义良好，且仅依赖于步态G，与初始条件无关。
• 一般情况下，有限时间收敛并非保证；反例表明，即使对于简单几何结构，收敛也可能仅为渐近的。
• 对于单段情况（N=1），在首个驱动周期内即可实现有限时间收敛到周期行为。
• 结果适用于软体爬行器模型，使得能够严格定义与步态相关的渐近速度，并证明系统稳定收敛到运行周期解。