[论文解读] Stabilization of perturbed integrator chains using Lyapunov-Based Homogeneous Controllers
本文提出了一种基于李雅普诺夫的齐次控制器，用于实现任意阶数 r ≥ 1 的扰动积分器链的有限时间稳定。通过调节齐次度，控制器实现了固定时间收敛，并最小化了不连续控制的幅值，从而在有界不确定性下实现了鲁棒且快速的稳定。
In this paper, we present a Lyapunov-based homogeneous controller for the stabilization of a perturbed chain of integrators of arbitrary order $r\geq 1$. The proposed controller is based on homogeneous controller for stabilization of pure integrator chains. The advantages to control the homogeneity degree of the controller are also discussed. A bounded-controller with minimum amplitude of discontinuous control and a controller with fixed-time convergence are synthesized, using control of homogeneity degree, and their performances are shown in simulations. It is demonstrated that the homogeneous arbitrary HOSM controller \cite{Levant2001} is a particular case of our controller.
研究动机与目标
- 解决任意阶数 r ≥ 1 的扰动积分器链的有限时间稳定问题。
- 通过引入齐次度控制参数，克服现有控制器的局限性，以调节性能。
- 实现与初始条件无关的固定时间收敛，这是鲁棒控制的关键要求。
- 在平衡点处最小化不连续控制的幅值，以减少颤振并提高鲁棒性。
- 设计一个统一框架，推广并改进先前的齐次控制与滑模控制器。
提出的方法
- 基于纯积分器链控制器构造一种基于李雅普诺夫的齐次控制器。
- 引入一个控制齐次度参数 κ，用于调节系统的收敛特性。
- 使用具有齐次度 α = 1 + k₂/(2 + k₂) 的李雅普诺夫函数 V，证明有限时间稳定性。
- 通过 τ > 1 的时间重标定加速收敛并缩短调节时间。
- 通过在零点邻域切换 κ 值，设计有界控制器，以最小化不连续控制的幅值。
- 通过选择 κ = -1/r 确保固定时间收敛，保证收敛时间与初始条件无关。
实验结果
研究问题
- RQ1在基于李雅普诺夫的控制器中，通过调节齐次度是否能够实现对扰动积分器链的固定时间稳定？
- RQ2如何在保持有限时间收敛的同时，最小化平衡点处不连续控制的幅值？
- RQ3在扰动积分器系统中，齐次度与收敛时间之间存在何种关系？
- RQ4是否存在单一控制器框架，能够统一实现任意阶数积分器链的有限时间与固定时间稳定？
- RQ5在有界不确定性下，时间重标定如何影响收敛速度与控制器性能？
主要发现
- 通过选择 κ = -1/r 实现了固定时间收敛，确保收敛时间有界且与初始条件无关。
- 调节时间被有界为 T_f = (2 + k₂)B^(-k₂/(2 + k₂)) / (-k₂C)，其中 α = 1 + k₂/(2 + k₂)，显式依赖于系统参数。
- 当 κ ∈ (-1/r, 0) 时，控制器确保有限时间收敛，且在平衡点处不连续控制幅值最小。
- 将 κ 从 -1/r 切换至 (-1/r, 0) 区间内的值，可实现有界控制器，显著降低颤振，同时保持有限时间收敛特性。
- 通过 τ > 1 的时间重标定，将调节时间缩短为 (T_u + T_f)/τ，加速收敛而不改变系统稳定性。
- 对扰动三重积分器（r = 3）的仿真结果表明，所有初始条件下收敛时间均在 8.5 秒内，且 |z₁|, |z₂|, |z₃| < 1×10⁻⁴。
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