[论文解读] Stabilization of the Regularity of Powers of An Ideal

David Eisenbud, Bernd Ulrich|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 10被引用 8

一句话总结

该论文在理想 $I$ 生成于单一次数且 $M/IM$ 的长度有限的条件下，为理想幂在模 $M$ 上的 Castelnuovo-Mumford 正则性之稳定性建立了显式上界。证明了当 $m$ 大于等于 Rees 代数 ${\mathcal{R}}(I,M)$ 的 $(0,1)$-正则性时，$I^mM$ 的正则性会稳定为线性函数 $dm + e$，并为此稳定点提供了上界，扩展了先前的工作，给出了比早期提议更精确的估计。

ABSTRACT

When M is a finitely generated graded module over a standard graded algebra S and I is an ideal of S, it is known from work of Cutkosky, Herzog, Kodiyalam, Römer, Trung and Wang that the Castelnuovo-Mumford regularity of I^mM has the form dm+e when m >> 0. We give an explicit bound on the m$for which this is true, under the hypotheses that I is generated in a single degree and M/IM has finite length, and we explore the phenomena that occur when these hypotheses are not satisfied. Finally, we prove a regularity bound for a reduced, equidimensional projective scheme of codimension 2 that is similar to the bound in the Eisenbud-Goto conjecture [1984], under the additional hypotheses that the scheme lies on a quadric and has nice singularities.

研究动机与目标

• 确定当理想 $I$ 生成于单一次数且 $M/IM$ 的长度有限时，$I^mM$ 的正则性稳定为线性函数 $dm + e$ 的显式上界 $m_0$。
• 研究序列 $e_m = \operatorname{reg}I^mM - dm$ 及其差分的行为，特别是其是否构成弱递减序列。
• 将分析拓展至非单一次数生成的假设情形，当 $I = J + (x_0,\dots,x_n)^D$ 且 $J$ 生成于单一次数时，给出 $e_m$ 的公式。
• 在具有轻微奇点的二维余维数、位于二次曲面上的约化、等维数射影概形上，证明一个类似于 Eisenbud-Goto 猜想的正则性上界。

提出的方法

• 将 Rees 代数 ${\mathcal{R}}(I,M)$ 的 $(0,1)$-正则性定义为：在 $T = S[y_0,\dots,y_r]$ 上的双分次极小自由解析中，出现形如 $(-a, -i-j)$ 的自由直和项的最大 $j$，其中 $\deg x_i = (1,0)$，$\deg y_i = (0,1)$。
• 将 Rees 代数 ${\mathcal{R}}(I,M) = S[It]M$ 视为 $T$ 上的双分次模，分析其解析以推导出稳定性的上界。
• 应用谱序列技术和局部上同调，分析与 $\operatorname{reg}_y {\mathcal{R}}(I,S_X)$ 相关的关联分次环 $G = \mathfrak{gr}_I S_X$ 的正则性。
• 利用 $S_X = {\mathcal{F}} + {\mathcal{F}}x$ 的事实，其中 $x$ 为一般线性形式且满足 $x^2 \in I$，故 $x^2 G = 0$，以分析 $G$ 及其商模的结构。
• 利用关于有理奇点和对偶模的结果：在特征零且具有孤立非有理奇点的条件下，有 $\operatorname{reg} \omega_{S_X} \leq \dim S_X = n-1$。
• 利用同构 $G/(0:_{G}x) \cong {\mathcal{F}}/({\mathcal{F}}:_{\mathcal{F}}S_X)$ 将 $G$ 的正则性与 ${\mathcal{F}}$ 及其列理想正则性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当理想 $I$ 生成于单一次数且 $M/IM$ 的长度有限时，$\operatorname{reg}I^mM$ 稳定的精确显式上界 $m_0$ 是什么？
• RQ2 在相同假设下，序列 $e_m - e_{m+1}$ 是否为弱递减？
• RQ3 当 $I$ 不生成于单一次数时，$I^mM$ 的正则性行为如何，特别是当 $I = J + (x_0,\dots,x_n)^D$ 且 $J$ 生成于单一次数时？
• RQ4 对于位于二次曲面上、仅有孤立非有理奇点的二维余维数约化、等维数射影概形，能否建立一个类似于 Eisenbud-Goto 猜想的正则性上界？
• RQ5 在这些几何约束下，齐次坐标环 $S_X$ 的正则性与 $X$ 的次数之间存在何种关系？

主要发现

• 当 $I$ 生成于单一次数且 $M/IM$ 的长度有限时，$\operatorname{reg}I^mM$ 稳定为 $dm + e$ 的条件是 $m \geq \operatorname{reg}_{(0,1)}{\mathcal{R}}(I,M)$，此上界在给定假设下是显式且精确的。
• 渐近正则性 $e$ 等于由 $I$ 定义的态射的纤维上限制于 $M$ 所得层的正则性，提供了几何解释。
• 序列 $e_m = \operatorname{reg}I^mM - dm$ 为弱递减，并在 $m_0 = \operatorname{reg}_{(0,1)}{\mathcal{R}}(I,M)$ 处稳定于 $e$，且此上界优于早期提议。
• 对于在特征零域上、仅有孤立非有理奇点且位于二次曲面上的约化、等维数射影概形 $X$，有 $\operatorname{reg}S_X \leq \deg X$。
• 若 $x_1,\dots,x_n$ 为生成理想 $I$ 的一般线性形式，则 $\operatorname{reg}_y {\mathcal{R}}(I,S_X) \leq \deg X - \operatorname{codim}X + 1 = \deg X - 1$，此结果类似于 Eisenbud-Goto 猜想，但假设条件更弱。
• 关联分次环 $G = \mathfrak{gr}_I S_X$ 的正则性满足 $\operatorname{reg}G \leq \deg S_X - 1$，该结果由对 $\operatorname{reg}({\mathcal{F}}:_{\mathcal{F}}S_X)$ 和 $\operatorname{reg}{\mathcal{F}}$ 的上界推导而来，其中 ${\mathcal{F}} \cong G/xG$。