[论文解读] Stabilizations via Lefschetz Fibrations and Exact Open Books

Selman Akbulut, Arikan, M. Firat|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在 (2n+1)-维流形上建立了接触开书的正稳定化与其诱导的Lefschetz纤维丛之间的一一对应关系，并将该结果推广至辛几何中的精确稳定化与凸稳定化情形。证明了相容精确Lefschetz纤维丛的凸稳定化会产生辛同胚的完备化，并保持诱导的接触结构，从而将三维与四维的已知结果推广至高维。

ABSTRACT

We show that if a contact open book $(Σ,h)$ on a $(2n+1)$-manifold $M$ ($n\geq1$) is induced by a Lefschetz fibration $π:W o D^2$, then there is a one-to-one correspondence between positive stabilizations of $(Σ,h)$ and \emph{positive stabilizations} of $π$. More precisely, any positive stabilization of $(Σ,h)$ is induced by the corresponding positive stabilization of $π$, and conversely any positive stabilization of $π$ induces the corresponding positive stabilization of $(Σ,h)$. We define \emph{exact open books} as boundary open books of compatible exact Lefschetz fibrations, and show that any exact open book carries a contact structure. Moreover, we prove that there is a one-to-one correspondence (similar to the one above) between \emph{convex stabilizations} of an exact open book and \emph{convex stabilizations} of the corresponding compatible exact Lefschetz fibration. We also show that convex stabilization of compatible exact Lefschetz fibrations produces symplectomorphic completions.

研究动机与目标

• 将开书的正稳定化与Lefschetz纤维丛之间的对应关系推广至高维接触流形（(2n+1)维，n ≥ 1）。
• 将精确开书定义为相容精确Lefschetz纤维丛的边界，并建立其辛性质。
• 引入凸稳定化作为正稳定化的精确辛几何类比，证明其与纤维丛结构的相容性。
• 证明相容精确Lefschetz纤维丛的凸稳定化会产生辛同胚的完备化。
• 验证精确开书的凸稳定化保持其底层接触结构，推广已知的三维与四维结果。

提出的方法

• 通过多项式 $P(z_1, \dots, z_{n+1}) = \sum z_i^2$ 的Milnor纤维丛，定义 $S^{2n+1}$ 上的标准开书 $\mathcal{OB}$，其页微分同胚于闭切丛包 $\mathcal{D}(TS^n)$。
• 构造标准 $(2n+2)$-维球体上的Lefschetz纤维丛 $\mathcal{LF}$，其边界为 $\mathcal{OB}$，利用多项式 $P$ 的Milnor纤维丛。
• 通过在纤维中沿拉格朗日子球面进行Murasugi和的方式，引入Lefschetz纤维丛的正稳定化，推广三维接触连通和构造。
• 将精确开书定义为相容精确Lefschetz纤维丛的边界，其中纤维丛配备辛形式 $\omega$、1-形式 $\alpha$ 及Liouville向量场 $\chi$。
• 将凸稳定化定义为一种正稳定化，其中拉格朗日子球面 $L$ 为Legendrian，以确保与辛结构的相容性。
• 利用一对具有相邻Morse指标差为1且横截相交的Weinstein柄 $\{H_n, H_{n+1}\}$ 构成辛可消去对，从而推出完备化为辛同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维中，接触开书的正稳定化与其诱导的Lefschetz纤维丛之间是否存在一一对应关系？
• RQ2 能否将精确开书定义为相容精确Lefschetz纤维丛的边界，且其是否携带明确定义的接触结构？
• RQ3 相容精确Lefschetz纤维丛的凸稳定化是否产生辛同胚的完备化？
• RQ4 精确开书的凸稳定化是否保持其所携带的接触结构？
• RQ5 在相容精确Lefschetz纤维丛的背景下，辛结构与接触结构在稳定化下的行为如何？

主要发现

• 开书 $(\Sigma, h)$ 的正稳定化与其中诱导的Lefschetz纤维丛 $\pi: W \to D^2$ 之间存在一一对应关系，使得开书的每一次稳定化均对应于纤维丛的相应稳定化。
• 任何作为相容精确Lefschetz纤维丛边界定义的精确开书，均携带由纤维丛上辛形式诱导的明确定义的接触结构。
• 对相容精确Lefschetz纤维丛进行凸稳定化——通过附着一个Legendrian $n$-维子球面——将产生一个新的相容精确Lefschetz纤维丛，其完备化为辛同胚。
• 在凸稳定化中使用的Weinstein柄对 $\{H_n, H_{n+1}\}$ 构成完备化的辛可消去对，从而确保辛填充为辛同胚。
• 任何精确开书 $(X,h)$ 的凸稳定化 $\mathcal{S^{C}_{OB}}[(X,h);L]$ 均携带与原始开书相同的接触结构 $\xi$，这是由于完备化的辛同胚性所致。
• 稳定化纤维丛边界上的接触结构与原始纤维丛的接触结构微分同胚，从而确认了在凸稳定化下接触结构的不变性。