[论文解读] Stabilized exponential-SAV schemes preserving energy dissipation law and maximum bound principle for the Allen-Cahn type equations

Lili Ju, Xiao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

Solidification and crystal growth phenomena被引用 4

一句话总结

本文提出了用于Allen–Cahn型方程的一阶和二阶稳定化指数标量辅助变量（sESAV）格式，可同时保持离散能量耗散律和最大值界原理（MBP）。通过结合指数时间积分与一种新颖的稳定化技术，该格式确保了无条件能量稳定性与严格解界，具备最优误差估计，并通过广泛的数值验证得以证实。

ABSTRACT

It is well-known that the Allen-Cahn equation not only satisfies the energy dissipation law but also possesses the maximum bound principle (MBP) in the sense that the absolute value of its solution is pointwise bounded for all time by some specific constant under appropriate initial/boundary conditions. In recent years, the scalar auxiliary variable (SAV) method and many of its variants have attracted much attention in numerical solution for gradient flow problems due to their inherent advantage of preserving certain discrete analogues of the energy dissipation law. However, existing SAV schemes usually fail to preserve the MBP when applied to the Allen-Cahn equation. In this paper, we develop and analyze new first- and second-order stabilized exponential-SAV schemes for a class of Allen-Cahn type equations, which are shown to simultaneously preserve the energy dissipation law and MBP in discrete settings. In addition, optimal error estimates for the numerical solutions are rigorously obtained for both schemes. Extensive numerical tests and comparisons are also conducted to demonstrate the performance of the proposed schemes.

研究动机与目标

• 开发在时间离散设置下同时保持能量耗散律与最大值界原理（MBP）的数值格式，适用于Allen–Cahn型方程。
• 通过引入稳定化指数-SAV框架，克服标准SAV格式通常无法保持MBP的局限性。
• 为所提出的格式建立严格的稳定性与收敛性分析，确保最优误差界。
• 通过在长时间粗化动力学与相分离过程中的广泛数值实验，展示格式的有效性。
• 通过一种新颖的稳定化机制，确保能量稳定性与解有界性，将基于SAV的方法的应用范围扩展至梯度流。

提出的方法

• 采用指数标量辅助变量（ESAV）方法重构能量泛函，确保在离散格式中非线性项的系数为正。
• 通过在格式中添加并减去一个线性项引入稳定化项，该方法对于证明MBP保持至关重要，且不改变原始能量结构。
• 利用单步法框架构建一阶与二阶时间离散格式，支持自适应时间步长策略的使用。
• 证明能量耗散与MBP保持相互独立，可并行建立，这与经典稳定化格式不同。
• 通过指数时间积分对非线性项采用半隐式处理，以提高稳定性和精度。
• 通过严格分析推导出在$L^2$与$L^\frown$范数下的最优误差估计，并通过数值方法加以验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种基于SAV的格式，使其在离散时间下同时保持能量耗散律与最大值界原理（MBP）？
• RQ2 如何在保持能量稳定性的前提下，校正标准SAV格式在保持解界方面固有的不稳定性？
• RQ3 指数时间积分与稳定化项在实现能量耗散与MBP保持的独立证明中起到何种作用？
• RQ4 能否为这种稳定化指数-SAV格式严格推导出最优误差估计？
• RQ5 所提出的格式在相分离与粗化动力学的长时间模拟中表现如何？

主要发现

• 所提出的sESAV格式对一阶与二阶格式均无条件保持离散能量耗散律。
• 格式严格实施最大值界原理（MBP），当初始数据满足$|u_{\text{init}}| \leq \beta$时，解在所有时间点的绝对值均被限制在$\beta$以内。
• 严格建立了最优误差估计：一阶格式为$\mathcal{O}(\tau + h^2)$，二阶格式为$\mathcal{O}(\tau^2 + h^2)$。
• 数值结果表明，当$\tau = 0.01$时，sESAV2格式能准确捕捉长时间粗化动力学，在双势阱势下于$t \approx 604$达到稳态，在Flory–Huggins势下于$t \approx 602$达到稳态。
• 在整个模拟过程中，解在$L^\infty$范数下保持有界，证实了MBP的保持；同时能量单调衰减，验证了能量耗散。
• 该格式具有鲁棒性，结果与IFRK4格式相当，未出现非物理振荡或解界违反现象。