[论文解读] Stable and consistent density-based clustering.

Alexander Rolle, Luis Scoccola|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 30被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于拓扑数据分析中持久性与交错距离的稳定且一致的密度聚类框架，通过Gromov–Hausdorff–Prokhorov距离确保在输入扰动和参数变化下的稳定性，且无需分布假设。该方法通过层次聚类简化实现鲁棒性，并生成稳定的平坦聚类算法。

ABSTRACT

We present a multiscale, consistent approach to density-based clustering that satisfies stability theorems -- in both the input data and in the parameters -- which hold without distributional assumptions. The stability in the input data is with respect to the Gromov--Hausdorff--Prokhorov distance on metric probability spaces and interleaving distances between (multi-parameter) hierarchical clusterings we introduce. We prove stability results for standard simplification procedures for hierarchical clusterings, which can be combined with our approach to yield a stable flat clustering algorithm. We illustrate the stability of the approach with computational examples. Our framework is based on the concepts of persistence and interleaving distance from Topological Data Analysis.

研究动机与目标

• 开发一种在输入数据和聚类参数发生微小扰动时仍保持稳定的密度聚类方法。
• 在不假设数据分布的前提下，建立理论稳定性定理。
• 通过利用层次聚类和持久性理论，在多尺度下确保一致性。
• 提供与标准层次聚类简化过程兼容的框架，以实现稳定的平坦聚类。
• 通过在度量概率空间和多参数聚类上使用新型距离——Gromov–Hausdorff–Prokhorov距离与交错距离，形式化稳定性。

提出的方法

• 该框架使用持久性模组和交错距离来度量层次聚类之间的相似性，确保在参数变化下的稳定性。
• 通过Gromov–Hausdorff–Prokhorov距离量化度量概率空间中的扰动，从而实现对输入数据变化的稳定性。
• 该方法基于密度构建多尺度层次聚类，利用基于持久性的过滤方法捕捉有意义的聚类结构。
• 提出一种新型交错距离，用于比较和稳定多参数层次聚类之间的输出。
• 证明了标准层次聚类简化过程（如剪枝）在该框架下是稳定的，从而实现鲁棒的平坦聚类。
• 该方法将拓扑数据分析工具与基于密度的聚类相结合，实现在无分布假设下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使基于密度的聚类在输入数据发生微小扰动时保持稳定？
• RQ2 在不假设特定数据分布的前提下，能否保证聚类参数变化下的稳定性？
• RQ3 何种距离度量适用于比较层次聚类，以支持稳定性定理的建立？
• RQ4 如何在拓扑框架内使层次聚类的标准简化过程保持稳定？
• RQ5 能否利用持久性和交错距离构建一个一致且多尺度的聚类框架？

主要发现

• 所提出的框架在度量概率空间上的Gromov–Hausdorff–Prokhorov距离下实现了对输入扰动的稳定性。
• 通过多参数层次聚类之间的交错距离，也建立了对参数变化的稳定性。
• 该方法在不依赖底层数据分布假设的前提下，确保了理论稳定性。
• 在所提出的框架下，层次聚类的简化过程被证明是稳定的，从而支持可靠的平坦聚类。
• 计算示例表明，聚类结果在数据扰动下表现出实际的稳定性。
• 持久性理论与拓扑距离的结合，实现了鲁棒、一致且多尺度的聚类方法。