[论文解读] Stable and efficient FEM-BEM coupling with OSRC regularisation for acoustic wave transmission

Elwin van ’t Wout|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 75被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种稳定且高效的声波透射FEM-BEM耦合方法，采用表面辐射条件（OSRC）正则化和OSRC-ILU预条件化。通过用OSRC近似替代标准正则化器以逼近法诺-狄利克雷（Neumann-to-Dirichlet）映射，并将不完全LU分解应用于FEM部分，该方法显著减少了GMRES迭代次数——在典型问题和大规模问题上均得到验证——同时在所有频率下保持稳定性，包括共振频率。

ABSTRACT

The finite element method (FEM) and the boundary element method (BEM) can numerically solve the Helmholtz system for acoustic wave propagation. When an object with heterogeneous wave speed or density is embedded in an unbounded exterior medium, the coupled FEM-BEM algorithm promises to combine the strengths of each technique. The FEM handles the heterogeneous regions while the BEM models the homogeneous exterior. Even though standard FEM-BEM algorithms are effective, they do require stabilisation at resonance frequencies. One such approach is to add a regularisation term to the system of equations. This algorithm is stable at all frequencies but also brings higher computational costs. This study proposes a regulariser based on the on-surface radiation conditions (OSRC). The OSRC operators are also used to precondition the boundary integral operators and combined with incomplete LU factorisations for the volumetric weak formulation. The proposed preconditioning strategy improves the convergence of iterative linear solvers significantly, especially at higher frequencies.

研究动机与目标

• 解决标准FEM-BEM在声波透射问题中于共振频率下的不稳定性。
• 降低使用传统正则化器的稳定化FEM-BEM格式所带来的高计算成本。
• 改善迭代求解器（GMRES）在耦合FEM-BEM系统中的收敛性，尤其在高频下。
• 开发一种频率鲁棒的高效预条件化策略，结合BEM的OSRC算子与FEM的ILU方法。
• 实现对具有可变密度和波速的非均质材料中波传播的高精度大规模模拟。

提出的方法

• 在稳定化的FEM-BEM系统中引入法诺-狄利克雷（NtD）映射的OSRC近似作为正则化器，以确保所有频率下的稳定性。
• 对BEM部分的边界积分算子应用OSRC算子预条件化，以改善条件性。
• 将OSRC预条件化与FEM部分的不完全LU（ILU）分解相结合，以加速迭代线性求解。
• 采用强耦合格式，使FEM与BEM在单个系统矩阵中同时求解，并包含界面耦合项。
• 采用P1有限元进行空间离散化，并使用GMRES求解器（收敛容差为10⁻⁵）求解线性系统。
• 在典型几何结构（球体、环形）以及具有非均质材料参数的大规模互锁环结构上验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于OSRC的正则化是否能确保FEM-BEM耦合在所有频率下（包括共振频率）稳定，且不引入虚假解？
• RQ2 OSRC预条件化是否能显著提高耦合FEM-BEM系统中GMRES的收敛速度，尤其是在高频下？
• RQ3 与标准预条件化相比，OSRC-ILU联合预条件化策略在迭代次数和计算成本方面表现如何？
• RQ4 所提出的方法能否准确模拟高频波在具有平滑但不连续材料属性的复杂非均质材料中的传播？
• RQ5 OSRC稳定化并预条件化的FEM-BEM方法在大规模三维声波透射问题中的可扩展性与鲁棒性如何？

主要发现

• 通过用NtD映射的OSRC近似替代标准正则化器，OSRC正则化的FEM-BEM格式在所有频率下（包括共振频率）均实现了稳定性。
• 在具有非均质密度和波速的六个互锁环的大规模模拟中，OSRC-ILU联合预条件化将GMRES迭代次数减少至1781次。
• 该方法在多种测试案例中表现出稳健性能，包括具有平滑但不连续材料参数的三维环形结构。
• 计算基准测试证实，与标准格式相比，OSRC预条件化显著提升了收敛性，尤其在高频下表现更优。
• OSRC-ILU策略有效处理了稳定化引入的病态性，即使在正则化导致系统矩阵增加自由度的情况下，仍保持高效性。
• 大规模模拟结果表明，整个域（包括非均质内部和无界外部）的波场重建准确，验证了该方法在复杂声波透射问题中的能力。