[论文解读] Stable and Unstable operations in Algebraic Cobordism

Alexander Vishik|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文建立了代数cobordism中加法不稳定运算与无限射影空间积上同态族之间的1对1对应关系，从而实现对这类运算的系统性构造。它证明了不稳定加法运算恰好对应于在射影空间积上取整数值的Landweber-Novikov运算的有理线性组合，而稳定运算则恰好是这些运算的ℤ-线性组合，并为所有素数构造了积分Adams运算和对称运算。

ABSTRACT

We describe additive (unstable) operations from a theory A^* obtained from Algebraic Cobordism of M.Levine-F.Morel by change of coefficients to any oriented cohomology theory B^*. We prove that there is 1-to-1 correspondence between the set of operations, and the set of transformations: A^n((P^{\infty})^{ imes r}) ---> B^m((P^{\infty})^{ imes r}) satisfying certain simple properties. This provides an effective tool of constructing such operations. As an application, we prove that (unstable) additive operations in Algebraic Cobordism are in 1-to-1 correspondence with the L\otimes_Z Q-linear combinations of Landweber-Novikov operations which take integral values on the products of projective spaces. On our way we obtain that stable operations there are exactly L-linear combinations of Landweber-Novikov operations. We also show that multiplicative operations A^* ---> B^* are in 1-to-1 correspondence with the morphisms of the respective formal group laws. We construct Integral (!) Adams Operations in Algebraic Cobordism, and all theories obtained from it by change of coefficients, giving classical Adams operations in the case of K_0. Finally, we construct Symmetric Operations for all primes p (these operations in Algebraic Cobordism, previously known only for p=2, are more subtle than the Landweber-Novikov operations, and have applications to rationality questions), as well as the T.tom Dieck - style Steenrod operations in Algebraic Cobordism. As a bi-product of the proof of our main theorem we get the Riemann-Roch Theorem for additive (unstable) operations.

研究动机与目标

• 为特征零域上代数cobordism中的加法不稳定运算开发一种系统性构造方法。
• 通过其在无限射影空间积上的行为，对定向上同调理论之间的不稳定与稳定运算进行分类。
• 在代数cobordism中为所有素数构造积分Adams运算和对称运算，扩展经典构造。
• 证明加法运算的Riemann-Roch定理，推广此前已知的乘法情形。
• 确立有理类型理论——如代数cobordism——完全由其在低维代数上的取值所决定。

提出的方法

• 作者引入了有理类型理论的概念，其特征是能够从低维限制重构上同调取值。
• 他们在光滑代数簇范畴上定义了一个短双复结构，以分析运算在爆破和推出映射下的行为。
• 利用Hironaka的奇异点消去定理和弱因子分解定理，将运算的研究归约为其在射影空间积上的作用。
• 他们建立了从 $ A^n \to B^m $ 的运算与满足特定相容性与稳定性条件的 $ (\mathbb{P}^\infty)^{\times r} $ 上同态族之间的1对1对应关系。
• 他们将此框架应用于将不稳定运算分类为在射影空间积上保持整值性的Landweber-Novikov运算的有理线性组合。
• 他们利用同一框架为所有素数构造了对称运算和T. tom Dieck型Steenrod运算，扩展了此前仅针对模2的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数cobordism中加法不稳定运算的完整分类是什么？
• RQ2 如何有效构造代数cobordism及其相关理论中的积分Adams运算？
• RQ3 是否能为所有素数（而不仅p=2）在代数cobordism中构造对称运算？
• RQ4 有理类型理论在实现通过低维数据归纳构造运算中起到什么作用？
• RQ5 加法运算与形式群律之间有何关系？能否将Riemann-Roch定理从乘法情形推广到更一般情况？

主要发现

• 不稳定加法运算 $ A^n \to B^m $ 与 $ \mathbb{L} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} $-线性组合的Landweber-Novikov运算之间存在1对1对应，这些运算在射影空间积上取整数值。
• 稳定运算恰好是Landweber-Novikov运算的 $ \mathbb{L} $-线性组合。
• 在代数cobordism及其通过系数变化得到的所有理论中，均构造了积分Adams运算，扩展了经典K-理论运算。
• 为所有素数构造了对称运算和T. tom Dieck型Steenrod运算，解决了该理论中长期存在的空白。
• 建立了加法运算的Riemann-Roch定理，推广了此前在[19]中已知的乘法情形。
• 证明了通过系数变化从代数cobordism得到的理论 $ A^* $ 是有理类型理论，从而可通过低维数据实现运算的归纳构造。