[论文解读] Stable broken H(curl) polynomial extensions and p-robust a posteriori error estimates by broken patchwise equilibration for the curl-curl problem

Théophile Chaumont-Frelet, Alexandre Ern+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文在四面体网格的边邻域上，为分片多项式数据构建了稳定且与多项式次数无关的分段 H(curl) 空间扩展，通过一种新颖的分段局部平衡化技术，实现了对 curl-curl 问题的 p-鲁棒后验误差估计。关键贡献在于获得了与多项式次数无关的稳定性结果，从而实现了高效、可靠且局部高效的误差估计器，且无需全局 H(curl)-协调的通量。

ABSTRACT

We study extensions of piecewise polynomial data prescribed in a patch of tetrahedra sharing an edge. We show stability in the sense that the minimizers over piecewise polynomial spaces with prescribed tangential component jumps across faces and prescribed piecewise curl in elements are subordinate in the broken energy norm to the minimizers over the broken H(curl) space with the same prescriptions. Our proofs are constructive and yield constants independent of the polynomial degree. We then detail the application of this result to the a posteriori error analysis of the curl-curl problem discretized with N\\'ed\\'elec finite elements of arbitrary order. The resulting estimators are reliable, locally efficient, polynomial-degree-robust, and inexpensive. They are constructed by a broken patchwise equilibration which, in particular, does not produce a globally H(curl)-conforming flux. The equilibration is only related to edge patches and can be realized without solutions of patch problems by a sweep through tetrahedra around every mesh edge. The error estimates become guaranteed when the regularity pick-up constant is explicitly known. Numerical experiments illustrate the theoretical findings.

研究动机与目标

• 在共享一条公共边的四面体邻域上，构建分片多项式数据在分段 H(curl) 空间中的稳定、p-鲁棒扩展。
• 为高阶 Nédélec 有限元离散化 curl-curl 问题的 p-鲁棒后验误差估计建立理论基础。
• 构造高效、可靠且局部高效的误差估计器，且无需全局 H(curl)-协调的通量。
• 通过一种局部的、基于扫掠的算法实现实际的误差估计，避免求解全局邻域问题。

提出的方法

• 通过在边邻域上利用分段 Nédélec 空间中的局部最小化，定义局部通量重构，实现分段局部平衡化。
• 证明离散最佳逼近误差在分段 H(curl) 空间中相对于连续最佳逼近误差的稳定性，且常数与多项式次数 p 无关。
• 采用构造性方法构建一个满足给定旋度和面间切向跳跃的离散势，确保能量范数有界。
• 应用平衡化技术推导出后验误差估计器，当已知正则性提升常数时，可保证估计结果。
• 通过在每个网格边周围的四面体中进行局部扫掠实现该方法，避免全局求解。
• 利用边邻域的结构与 Raviart–Thomas 场的性质，确保误差估计器的局部有效性和可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在四面体网格的边邻域上，为分片多项式数据在分段 H(curl) 空间中构造稳定且与多项式次数无关的扩展？
• RQ2 此类扩展能否用于推导出高阶 Nédélec 离散化中既可靠又局部高效的后验误差估计器？
• RQ3 能否在不需全局 H(curl)-协调通量或求解全局邻域问题的前提下，构造出 p-鲁棒的误差估计器？
• RQ4 正则性提升常数在确保后验分析中误差界保证方面起什么作用？
• RQ5 如何通过仅使用局部运算高效实现平衡化过程？

主要发现

• 在边邻域上，分段 H(curl) 空间中的离散最佳逼近误差被连续最佳逼近误差所控制，且常数与多项式次数 p 无关。
• 所提出的误差估计器具有可靠性、局部有效性和 p-鲁棒性，当正则性提升常数显式已知时，可保证误差界。
• 平衡化过程是局部的，可通过在每个网格边周围的四面体中进行扫掠实现，避免了全局邻域求解。
• 该方法构造了一个属于分段 Nédélec 空间的通量，其旋度和切向跳跃与离散解一致，从而确保了最优误差控制。
• 数值实验验证了理论结果，表明所提出的估计器在不同多项式次数下均表现出有效性和鲁棒性。
• 通过在分段空间中最小化构造离散势，确保了稳定性和 p-鲁棒性，关键不等式 (1.1) 成立，且常数依赖于形状正则性但与 p 无关。