[论文解读] Stable CMC integral varifolds of codimension $1$: regularity and compactness

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 12

一句话总结

该论文为在体积保持变分下面积稳定且静止的余维1整值变微分建立了精确的正则性与紧致性定理。证明了此类变微分在余维7的闭集外是常平均曲率的$C^2$超曲面，且仅在两个$C^2$圆盘切触相交处可能出现孤立奇点，前提是其正则部分满足两个易于验证的结构条件。

ABSTRACT

We give two structural conditions on a codimension $1$ integral $n$-varifold with first variation locally summable to an exponent $p>n$ that imply the following: whenever each orientable portion of the $C^{1}$-embedded part of the varifold (which is non-empty by the Allard regularity theory) is stationarity and the $C^{2}$-immersed part of it is stable with respect to the area functional for volume preserving deformations, its support, except possibly on a closed set of codimension $7$, is an immersed constant-mean-curvature (cmc) hypersurface of class $C^{2}$ that can fail to be embedded only at points where locally the support is the union of two $C^{2}$ embedded cmc disks with only tangential intersection. Both structural conditions are necessary for the conclusions and involve only those parts of the varifold that are made up of embedded $C^{1, α}$-regular pieces coming together in a regular fashion, making them easy to check in principle. We show also that any family of codimension 1 integral varifolds satisfying these structural and variational hypotheses as well as locally uniform mass and mean curvature bounds is compact in the varifold topology. Our results generalize both the regularity theory of the second author (for stable minimal hypersurfaces) and the regularity theory of Schoen--Simon, for hypersurfaces satisfying a priori a smallness hypothesis on the singular set in addition to the variational hypotheses). Corollaries of the main varifold regularity theorem are obtained for sets of locally finite perimeter, which generalize the regularity theory of Gonzalez--Massari--Tamanini for boundaries that locally minimize perimeter subject to the fixed enclosed volume constraint.

研究动机与目标

• 为不假设先验$C^2$正则性的稳定常平均曲率（CMC）超曲面（以整值变微分表示）建立局部正则性理论。
• 将Wicreskera（2014）对稳定极小超曲面的正则性与紧致性结果，以及Schoen–Simon（1981）对$C^2$ CMC超曲面的结果，推广至仅具有$L^p$第一变分且奇点集无先验大小假设的整值变微分情形。
• 识别出变微分的$C^1$嵌入正则部分上两个结构条件，它们对支持的$C^2$正则性（除小奇点集外）既必要又充分。
• 在质量与平均曲率一致有界条件下，建立此类变微分族的紧致性定理，将理论推广至变微分框架。

提出的方法

• 作者在变微分的$C^1$嵌入正则部分上引入两个结构条件，确保正则部分以规则且受控的方式相交。
• 在$L^p$第一变分假设（$p > n$）下，应用Allard正则性理论，确认存在非空的$C^1$嵌入部分。
• 证明依赖于三个定理的层级结构：铺展定理、最小距离定理与更高正则性定理，通过爆破分析归纳证明。
• 采用粗略爆破程序分析爆破极限，并推导线性PDE估计，尤其针对平均曲率与两图之间半差。
• 通过单位分解与截断函数严格控制分布导数，确保奇点集上PDE结构得以保持。
• 在质量与平均曲率一致有界条件下，通过变微分收敛性论证建立紧致性，利用正则性结果提取收敛子列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在余维1整值变微分的正则部分上，仅具有$L^p$第一变分（$p > n$）时，需满足何种最小结构假设，才能推出支持在小奇点集外为$C^2$正则？
• RQ2 能否将稳定CMC超曲面的正则性与紧致性理论推广至整值变微分情形，而无需假设先验$C^2$正则性或奇点集的有界性？
• RQ3 此类变微分中可能的奇点具有何种精确性质？能否超越极小超曲面的经典奇点对它们进行分类？
• RQ4 如何在实践中验证这些结构条件？它们是否对正则性结论既必要又充分？
• RQ5 能否在仅具有局部质量与平均曲率有界条件下，为这类变微分族建立紧致性定理，而无需假设先验正则性？

主要发现

• 变微分的支持在Hausdorff余维至少为7的闭集外是$C^2$常平均曲率超曲面。
• 可能的奇点仅限于两重接触奇点，即局部上支持由两个切触相交的$C^2$嵌入CMC圆盘构成。
• 对正则部分提出的两个结构条件，对$C^2$正则性结论既必要又充分，且其形式基于$C^1$嵌入部分的几何性质。
• 本文证明了紧致性定理：任何满足局部质量与平均曲率一致有界的此类变微分族，在变微分拓扑下是预紧的。
• 结果推广了Wicreskera（2014）对极小超曲面的正则性理论，以及Schoen–Simon（1981）对CMC理论，消除了对奇点集先验有界性的需求。
• 对具有局部有限测度的集合获得推论，将Gonzalez–Massari–Tamanini正则性理论推广至体积约束测度最小化情形。