[论文解读] Stable cohomology of the mapping class group with symplectic coefficients and of the universal Abel-Jacobi map

Eduard Looijenga|ArXiv.org|Jan 24, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 55

一句话总结

本文确定了具有辛系数的映射类群的稳定有理上同调，表明其分解为无限型映射类群的稳定上同调与一个关于变量 $ c_i $（次数为 $ 2i $）的多项式代数上的有限生成模的张量积。此外，本文还计算了带标记点的黎曼曲面模空间的稳定上同调以及普遍阿贝尔-雅可比映射，通过对称函数和集合划分显式描述了该模结构。

ABSTRACT

This replacement corrects statement and proof of the main result. Also, a section on the universal Abel-Jacobi map has been added.

研究动机与目标

• 确定以不可约辛表示（由分拆 $ \lambda $ 索引）为系数的映射类群 $ \Gamma_g $ 的稳定有理上同调。
• 描述稳定上同调作为 $ \mathbb{Q}[c_1,\dots,c_{|\lambda|}] $-模的结构，其中 $ \deg(c_i) = 2i $。
• 计算具有 $ s $ 个有序或无序不同标记点的紧黎曼曲面模空间的稳定上同调。
• 确定从模空间到皮卡德簇的普遍阿贝尔-雅可比映射的稳定上同调。
• 在对称函数和分拆代数的背景下，将混合霍奇结构纳入稳定上同调的描述中。

提出的方法

• 利用哈雷的稳定性定理和伊万诺夫关于稳定上同调的结果，建立当 $ g $ 足够大时结果与 $ g $ 无关。
• 构造一个分次 $ \mathbb{Q}[c_1,\dots,c_s] $-模 $ B^\bullet_\lambda $，其中 $ s = |\lambda| $，以建模稳定上同调。
• 通过 $ s $-元组变量 $ u_1,\dots,u_s $ 上的对称函数识别 $ B^\bullet_\lambda $，其分次由权重 2 决定。
• 使用与集合分拆 $ P $ 关联的对角子簇 $ \Delta_P $，其分次基于余维数和分拆部分的大小。
• 在有限集 $ X $ 上定义一个单项式代数 $ A^\bullet_X $，其上有对称群 $ \mathfrak{S}_X $ 的作用，并取不变量 $ (A^\bullet_X)^{\mathfrak{S}_X} $。
• 将极限代数 $ C^\bullet_\infty $ 构造为 $ C^\bullet_s $ 的直极限，并将 $ C^{\prime\bullet}_\infty $ 识别为省略 $ c_1 $ 的子代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射类群具有辛系数的稳定有理上同调如何作为多项式代数上的模进行分解？
• RQ2 具有 $ s $ 个标记点（有序与无序）的黎曼曲面模空间的稳定上同调具有何种结构？
• RQ3 普遍阿贝尔-雅可比映射如何在上同调上诱导一个映射，且该映射在稳定度数下的像为何？
• RQ4 模空间上皮卡德簇的稳定上同调能否用对称函数和分拆代数来描述？
• RQ5 混合霍奇结构在这些模空间及其映射的稳定上同调中起何种作用？

主要发现

• 在度数 $ \leq N(g) - |\lambda| $ 范围内，稳定上同调 $ H^\bullet(\Gamma_g; S_{\langle\lambda\rangle}(V_g)) $ 同构于 $ H^\bullet(\Gamma_\infty; \mathbb{Q}) \otimes B^\bullet_\lambda $，其中 $ B^\bullet_\lambda $ 是 $ \mathbb{Q}[c_1,\dots,c_{|\lambda|}] $ 上的有限生成分次模。
• 模 $ B^\bullet_\lambda $ 显式描述为变量 $ u_i $ 上的对称代数的商，其分次由权重 2 决定，模去与集合分拆 $ P $ 关联的对角子簇 $ \Delta_P $ 的关系。
• 在度数 $ \leq \min(2s, N(g)) $ 范围内，具有 $ s $ 个无序标记点的模空间 $ \mathcal{M}_g^{(s)} $ 的稳定上同调同构于 $ H^\bullet(\Gamma_\infty; \mathbb{Q}) \otimes C^\bullet_\infty $。
• 在度数 $ \leq \min(s, N(g)) $ 范围内，普遍阿贝尔-雅可比映射 $ \operatorname{Pic}^s(\mathcal{C}_g/\mathcal{M}_g) $ 的稳定上同调同构于 $ H^\bullet(\Gamma_\infty; \mathbb{Q}) \otimes C^{\prime\bullet}_\infty $。
• $ (\mathcal{C}_g^s)^{\mathfrak{S}_s} $ 上同调中 $ c_1 \otimes 1 \otimes \cdots $ 的像对应于麦克唐纳定理中的类 $ y $，证实与已知结果一致。
• $ C^{\prime\bullet}_\infty $ 同构于不变量 $ (A^\bullet_X)^{\mathfrak{S}_X} $ 的直极限，且该同构与阿贝尔-雅可比映射通过代数同态的交换图相容。